Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求证：VO⊥平面ABC；
（2）求二面角V-AC-B的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出VO⊥AB，VO⊥OC，由此能证明VO⊥面ABC．
（2）作VM⊥AC于M，连OM，由已知条件推导出∠VMO为二面角V-AC-B的平面角，由此能求出二面角V-AC-B的平面角的正切值．

解答： （1）证明：∵VA=VB，AO=BO，
∴VO⊥AB，
∵VB=2，OA=OB=1，
∴VO=

VA2-AB2

=

3

，
又∵OC=1，OC²+VO²=VC²，
∴VO⊥OC，
∵AB∩OC=O，
∴VO⊥面ABC．
（2）解：作VM⊥AC于M，
连OM，VO⊥面ABC，VO⊥AC，VM∩VO=V
AC⊥面VOM，AC⊥面OM，
∴∠VMO为二面角V-AC-B的平面角，
又∵OM∥BC，OM=

1

2

BC=

2

2

，
∴tan∠VMO=

VO

OM

=

3

/

2

2

=

6

，
∴二面角V-AC-B的平面角的正切值为

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．