题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=
，D点为边BC的中点，试求AD的取值范围．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=
| 3 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中边转化成角的正弦，恒等变形整理后求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用正弦定理表示出b，进而利用余弦定理表示出AD，进而利用三角函数的性质求得AD的范围．
（Ⅱ）利用正弦定理表示出b，进而利用余弦定理表示出AD，进而利用三角函数的性质求得AD的范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵acosC=（2b-c）cosA，
∴sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，
∴sinB=2sinBcosA，
∵又sinB≠0
∴cosA=
，
∵0＜A＜π∴A=
．
（Ⅱ）∵
=
=2，
∴b=2sinB
∴AD2=b2+（
）2-2•
•b•cosC
=4sin2B+
-2
sinBcosC
=4sin2B+
-2
sinBcos（
-B）
=sin2B+
sinBcosB+
=
sin2B-
cos2B+
=sin（2B-
）+
∵B∈(0，
)∴2B-
∈(-
，
)
∴sin(2B-
)∈(-
，1]
∴AD∈(
，
]
∴sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，
∴sinB=2sinBcosA，
∵又sinB≠0
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π∴A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
∴b=2sinB
∴AD2=b2+（
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
=4sin2B+
| 3 |
| 4 |
| 3 |
=4sin2B+
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=sin2B+
| 3 |
| 3 |
| 4 |
=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
=sin（2B-
| π |
| 6 |
| 5 |
| 4 |
∵B∈(0，
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴sin(2B-
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴AD∈(
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的正弦定理、余弦定理，值域等．综合考查了学生解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
如果复数z1=2+i，z2=1-i，那么
在复平面内对应的点位于第（ ）象限．
| z1 |
| z2 |
| A、一 | B、二 | C、三 | D、四 |
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F为线段BC的中点．
如图，已知