Question

已知函数f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）．
（1）若b=0，讨论函数f（x）在区（0，π）上的单调性；
（2）若a=2b且a≥

2

3

，对任意的x＞0，试比较f（x）与0的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）问中，分a≥1，a≤-1，-1＜a＜1进行讨论；
（2）中引进新函数g（x），将问题转化为求新函数的单调性问题．

解答： 解：（1）b=0时，f（x）=sinx-ax，则f′（x）=cosx-a，
当a≥1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减；
当a≤-1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增；
当-1＜a＜1时，存在θ∈（0，π），使得cosθ=a，即f（θ）=0，
①x∈（0，θ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，θ）上单调递增，
②x∈（θ，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（θ，π）上单调递减．
（2）a=2b时，f（x）=sinx-

a

2

x（2+cosx），猜测f（x）＜0恒成立，
证明：f（x）＜0等价于

sinx

2+cosx

＜

a

2

x，
令g（x）=

sinx

2+cosx

-

a

2

x，
则g（x）=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

a

2

=-3(

1

2+cosx

-

1

3

)2-

a

2

+

1

3

，
当

a

2

≥

1

3

，即a≥

2

3

时，g′（x）≤0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
所以当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜0恒成立．

点评：本题属于利用导数求函数的单调性问题，解题过程中用到了分类讨论思想，转化思想．