Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos²

A-B

2

cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-

1

2

（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=5

3

，b=5，求角B及△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对原式化简整理求得cosA的值．
（Ⅱ）利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B，利用三角形内角和求得C，最后利用三角形面积公式求得其面积．

解答： 解：（ I）∵2cos2

A-B

2

cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

1

2

，
∴[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-

1

2

∴cos(A-B+B)=-

1

2

，即cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

；
（Ⅱ）∵sinA=

3

2

，由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

1

2

，
∵a＞b，
∴A＞B，
∴B=

π

6

，
∴C=π-A-B=

π

6

，
∴S=

1

2

×5×5

3

×sinC=

25

4

3

．
综上所述，B=

π

6

；△ABC的面积为

25

4

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形恒等变换的应用．考查了对三角函数基础知识的综合运用．