Question

已知点A，B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x-y+2=0的距离为

3 2

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线AB过焦点F；②直线AD过原点O；③直线BD平行x轴．请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由F(

p

2

，0)，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）①命题：若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，则直线BD平行x轴．利用直线与抛物线的位置关系进行证明；
②命题：若直线AB过焦点F，且直线BD平行x轴，则直线AD过原点O．利用直线与抛物线的位置关系进行证明；
③命题：若直线AD过原点O，且直线BD平行x轴，则直线AB过焦点F．利用直线与抛物线的位置关系进行证明．

解答： 解：（I）因为F(

p

2

，0)，
依题意得d=

| p 2 -0+2|

2

=

3 2

2

，…（2分）
解得p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）①命题：若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，则直线BD平行x轴．…（5分）
设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由

x=ty+1 y2=4x

得y²-4ty-4=0，∴y₁y₂=-4，…（8分）
直线AD的方程为y=

y1

x1

x，…（9分）
所以点D的坐标为(-1，-

y1

x1

)，
∴-

y1

x1

=-

4y1

y 2 1

=-

4

y1

=y2，…（12分）
∴直线DB平行于x轴．…（13分）
②命题：若直线AB过焦点F，且直线BD平行x轴，则直线AD过原点O．…（5分）
设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由

x=ty+1 y2=4x

得y²-4ty-4=0，∴y₁y₂=-4，…（8分）
即点B的坐标为(x2，-

4

y2

)，…（9分）
∵直线BD平行x轴，
∴点D的坐标为(-1，-

4

y1

)，…（10分）
∴

OA

=(x1，y1)，

OD

=(-1，-

4

y1

)，
由于x1(-

4

y1

)-y1(-1)=-y1+y1=0，
∴

OA

∥

OD

，即A，O，D三点共线，…（12分）
∴直线AD过原点O．…（13分）
③命题：若直线AD过原点O，且直线BD平行x轴，则直线AB过焦点F．…（5分）
设直线AD的方程为y=kx（k≠0），则点D的坐标为（-1，-k），…（6分）
∵直线BD平行x轴，
∴y_B=-k，∴xB=

k2

4

，即点B的坐标为(

k2

4

，-k)，…（8分）
由

y=kx y2=4x

得k²x²=4x，
∴xA=

4

k2

，yA=

4

k

，即点A的坐标为(

4

k2

，

4

k

)，…（10分）
∴

FA

=(

4

k2

-1，

4

k

) ， 

FB

=(

k2

4

-1，-k)，
由于(

4

k2

-1)(-k)-

4

k

•(

k2

4

-1)=-

4

k

+k-k+

4

k

=0，
∴

FA

∥

FB

，即A，F，B三点共线，…（12分）
∴直线AB过焦点F．…（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查正确命题的判断与证明，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质，注意抛物线与直线的位置关系的综合运用．