Question

已知椭圆G的离心率为

2

2

，其短轴两端点为A（0，1），B（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G的方程为：

x2

a2

+y2=1，(a＞1)．由e=

2

2

，得e2=

a2-1

a2

=

1

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），且x₁≠0，则D（-x₁，y₁），由已知条件推导出

AM

•

AN

=

-x02

1-y02

+1，x02=2(1-y02)，由此能求出以线段MN为直径的圆不过点A．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为

2

2

，其短轴两端点为A（0，1），B（0，-1），
∴设椭圆G的方程为：

x2

a2

+y2=1，(a＞1)．
由e=

2

2

，得e2=

a2-1

a2

=

1

2

，
解得a²=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）以MN为直径的圆是不过点A．理由如下：
∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，
∴设C（x₁，y₁），且x₁≠0，则D（-x₁，y₁）．
∵A（0，1），B（0，-1），∴直线AC的方程为y=

y0-1

x0

x+1．
令y=0，得xM=

-x0

y0-1

，∴M（

-x0

y0-1

，0）．
同理直线BD的方程为y=

y0+1

-x0

x-1，令y=0，解得N（

-x0

y0+1

，0）．

AM

=(

x0

1-y0

，-1)，

AN

=(

-x0

1+y0

，-1)，
∴

AM

•

AN

=

-x02

1-y02

+1，
由C（x₁，y₁）在椭圆G：

x2

2

+y2=1上，∴x02=2(1-y02)，
∴

AM

•

AN

=-1≠0，
∴∠MAN≠90°，
∴以线段MN为直径的圆不过点A．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查圆是否经过一个点的判断，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．