利用cos²α=

1+cos2α

2

，sin²α=

1-cos2α

2

，作答下列问题：已知表达式3sin²x+

3

sinxcosx+4cos²x+k可化成sin（2x+φ）的形式，0＜φ＜π，求k和φ的值．

已知a＞0，f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（1）当 a=1时，求 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在区间（0，

1

2

]上至少有一个实数x₀，使 f（x₀）＞g（x₀），求a的取值范围．

在△ABC中，已知cos2C=-

1

9

，C为锐角．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为

5

，求c的值．

如图1，△ABC为正三角形，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°，将△ABC沿BC边折叠到△A′BC的位置，使A′B=A′D，E为BD中点，如图2．
（Ⅰ）求证：A′E⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-A′C-D的余弦值．

一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验；若少于2件合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ζ元，求ζ的概率分布及数学期望．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，离心率e=

2

2

，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是直线l：x=2

2

上的不同两点，若

AF1

•

BF2

=0，求|AB|的最小值．

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（

3

，0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示．根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．

设变量x，y满足不等式组

0≤x+y≤20 1≤y≤10

，则2x+3y的最大值等于（　　）

在平面区域

0≤x≤2 0≤y≤2

内随机取一点，则所取的点恰好满足x+y≤

2

的概率是（　　）