题目内容
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
，0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+
与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且
•
＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
| 3 |
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+
| 2 |
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题意设出双曲线的方程，再由已知a和c的值求出b2的值，则双曲线C的方程可求；
（2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解k的取值范围．
（2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解k的取值范围．
解答：
解：（1）设双曲线方程为
-
=1 (a＞0，b＞0)，
由已知得a=
，c=2，
∴b2=c2-a2=1．
∴双曲线C的方程为
-y2=1；
（2）将y=kx+
代入
-y2=1得：
(1-3k2)x2-6
kx-9=0，
∵直线l：y=kx+
与双曲线C恒有两个不同的交点，
∴
，
解得：-1＜k＜-
或-
＜k＜
或
＜k＜1．
∴k的取值范围是(-1，-
)∪(-
，
)∪(
，1)．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由已知得a=
| 3 |
∴b2=c2-a2=1．
∴双曲线C的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）将y=kx+
| 2 |
| x2 |
| 3 |
(1-3k2)x2-6
| 2 |
∵直线l：y=kx+
| 2 |
∴
|
解得：-1＜k＜-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
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| 3 |
∴k的取值范围是(-1，-
| ||
| 3 |
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| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，是中档题．
练习册系列答案
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将函数f（x）=log2（2x）的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）
| A、y=log2（2x+1） |
| B、y=log2（2x-1） |
| C、y=log2（x+1）+1 |
| D、y=log2（x-1）+1 |
设x，y满足
（a＞1），若函数z=x+y取得最大值4，则实数a=（ ）
|
| A、2 | ||
| B、3 | ||
| C、4 | ||
D、
|
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