Question

某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示．根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用茎叶图能求出这组数据的众数，中位数．
（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为

3

4

，由此得到从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为

3

4

，从而能求出“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’”的概率．
（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86．…（4分）
（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为

3

4

，
故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为

3

4

，…（5分）
设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，
则P（A）=1-

C

0 3

×(1-

3

4

)3=1-

1

64

=

63

64

．…（7分）
（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．…（8分）
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 12

=

1

220

，P（ξ=1）=

C 1 9 C 2 3

C 3 12

=

27

220

，
P（ξ=2）=

C 2 9 C 1 3

C 2 13

=

108

220

=

27

55

，P（ξ=3）=

C 3 9

C 3 12

=

84

220

=

21

55

，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 220	27 220	27 55	21 55

…（12分）
Eξ=0×

1

220

+1×

27

220

+2×

27

55

+3×

21

55

=

9

4

．…（13分）

点评：本小题主要考查茎叶图、众数、中位数、随机变量的分布列、期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．