Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，离心率e=

2

2

，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是直线l：x=2

2

上的不同两点，若

AF1

•

BF2

=0，求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆C的标准方程可求；
（2）由椭圆方程求出两个交点的坐标，设出A，B的坐标，由

AF1

•

BF2

=0得到A，B两交点纵坐标的关系，写出距离公式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由题意得：

e= c a = 2 2 a2=b2+c2 S= 1 2 ×(2a)×(2b)=4 2

，
解得：

a=2 b= 2 c= 2

．
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

2

=1； 
（2）由（1）知，F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
设直线l：x=2

2

上的不同两点A，B的坐标分别为A(2

2

，y1)、B(2

2

，y2)，
则

AF1

=(-3

2

，-y1)，

BF2

=(-

2

，-y2)，
由

AF1

•

BF2

=0，得y₁y₂+6=0，
即y2=-

6

y1

，不妨设y₁＞0，则|AB|=|y1-y2|=y1+

6

y1

≥2

6

，
当y1=

6

，y2=-

6

时取等号．
∴|AB|的最小值是2

6

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，训练了数量积判断两个向量的垂直关系，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．