如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAD=60°，M、N分别是对角线BD、AC上的点，AC、BD相交于点O，已知BM=

1

3

BO，ON=

1

3

OC．设向量

AB

=

a

，

AD

=

b

．
（1）试用

a

，

b

表示

MN

；
（2）求|

MN

|．

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
（2）全体排成一行，男生不能排在一起；
（3）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
（4）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．

已知函数f（x）=e^xsin（

3

x+φ）（0＜φ＜π）且

3

3

π是函数f（x）的一个极值点，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）证明：当x＞0时，|f′（x）|＜2

3

xe^x．

在正数数列{a_n}（n∈N^*）中，S_n为{a_n}的前n项和，若点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a₁₀₁恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．
（Ⅲ）若存在一个等差数列{b_n}，对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=3n-

5

3

n-1成立，求{b_n}的通项公式及c的值．

已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足条件：a（sinA-sinC）+csinC=bsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=sinx•cos（x+B）+

3

4

（x∈[0，

π

2

]）的值域．

已知函数f（x）=x³-12x
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[-3，3]时，求f（x）的最值．

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和n个黑球（n为正整数）．现从甲、乙两个盒内各任取2个球，若取出的4个球均为黑球的概率为

1

5

，求
（Ⅰ）n的值；
（Ⅱ）取出的4个球中黑球个数大于红球个数的概率．



．

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R
（1）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）=bx+5-2b，b∈R，当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围．

某高校的自主招生考试设置了自荐、笔试和面试三个环节，并规定某个环节通过后才能进入下一环节，且三个环节都通过才能被录取．某学生A三个环节依次通过的概率组成一个公差为

1

8

的等差数列，且第一个环节不通过的概率超过

1

2

，第一个环节通过但第二个环节不通过的概率为

5

32

，假定每个环节学生是否通过是相互独立的．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）记学生A通过的环节数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

某工厂随机抽取处12件A型产品和18件B型产品，将这30件产品的尺寸编成如图所示的茎叶图（单位：cm），若尺寸在175cm以上（包括175cm）的产品定义为“标准件”，尺寸在175cm以下（不包括175cm）的产品定义为“非标准件”
（1）如果用分层抽样的方法从这30件“标准件”和“非标准件”中选取5件，求出这5件产品中“标准件”和“非标准件”的件数；
（2）从（1）中抽出的5件中抽取2件，那么至少有一件是“标准件”的概率是多少？