Question

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
（2）全体排成一行，男生不能排在一起；
（3）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
（4）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：应用题,排列组合

分析：（1）利用元素分析法，甲为特殊元素，先安排甲，其余6人全排列，由乘法原理可得结论；
（2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生；
（3）定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列；
（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有

A

3 5

种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有

A

2 2

A

3 3

，最后再把选出的3人的排列插到甲、乙之间即可．

解答： 解：（1）利用元素分析法，甲为特殊元素，先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择．有

A

1 3

种，其余6人全排列，有

A

6 6

种．由乘法原理得

A

1 3

A

6 6

=2160种；
（2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有

A

4 4

A

3 5

=1440种．
（3）定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，
第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此

A

7 7

=N×

A

3 3

，
∴N=

A 7 7

A 3 3

=840种．?
（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有

A

3 5

种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有

A

2 2

A

3 3

，最后再把选出的3人的排列插到甲、乙之间即可，共有

A

3 5

A

2 2

A

3 3

=720种．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于中档题．