在正数数列{an}(n∈N*)中.Sn为{an}的前n项和.若点(an.Sn)在函数y=c2-xc-1的图象上.其中c为正常数.且c≠1．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,(Ⅱ)是否存在正整数M.使得当n＞M时.a1•a3•a5-a2n-1＞a101恒成立?若存在.求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．(Ⅲ)若存在一个等差数列{bn}.对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

在正数数列{a_n}（n∈N^*）中，S_n为{a_n}的前n项和，若点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a₁₀₁恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．
（Ⅲ）若存在一个等差数列{b_n}，对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=3n-

5

3

n-1成立，求{b_n}的通项公式及c的值．

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由点（a_n，S_n）在函数图象上，代入函数表达式可得到a_n与S_n的关系式，消s_n可求a_n．
（Ⅱ）考查了恒成立条件的转化及指数运算法则；同时也考查了分类讨论的思想．
（Ⅲ）考查了错位相减法的变形应用及恒成立问题的常规解决方法．

解答： 解：（Ⅰ）sn=

c2-an

c-1

，n≥2时，sn-sn-1=

c2-an

c-1

-

c2-an-1

c-1

an=

an-1-an

c-1

，(c-1)an=an-1-an，can=an-1，

an

an-1

=

1

c

∴{a_n}是等比数列．
将（a₁，S₁）代入y=

c2-x

c-1

得a₁=c，
故an=(

1

c

)n-2．
（Ⅱ）由a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a_101得，c•c-1…(

1

c

)2n-3＞(

1

c

)99，
∴(

1

c

)n(n-2)＞(

1

c

)99．
若

1

c

＞1，即0＜c＜1时，n(n-2)＞99，
解得：n＞11或n＜-9（舍去）．
若

1

c

＜1，即c＞1时，n(n-2)＜99，
解得：-9＜n＜11，
不符合n＞M时，a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a₁₀₁恒成立，故舍去．
c的取值范围是（0，1），相应的M的最小值为11．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，an=c2-n，由{b_n}为等差数列，设b_n=b₁+（n-1）d．
b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂+b_na₁=3n-

5

3

n-1（n∈N^*），（1）
当n=1时，b1c=

1

3

．（2）
当n≥2时，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=3n-1-

5

3

(n-1)-2，（3）
（1）-（3）得b₁a_n+d（a_n-1+a_n-2+…+a₁）=3ⁿ-3^n-1-

5

3

，
即（b1c-

c2d

c-1

）c^1-n+

c2d

c-1

=2×3n-1-

5

3

，（4）
∵（4）式对一切n（n≥2）恒成立，则必有

1

c

=3

b1c-

c2d

c-1

=2，(5)

c2d

c-1

=-

5

3

解（2）（5）得

c=

1

3

b1=1

d=10

故bbn=10n-9，c=

1

3

．

点评：本题以数列为载体，不仅考查了数列的求和方法与求通项公式的方法，而且考查了恒成立问题的处理方法；综合性比较强．化简很繁琐，学生可通过多练习掌握．

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