题目内容
某高校的自主招生考试设置了自荐、笔试和面试三个环节，并规定某个环节通过后才能进入下一环节，且三个环节都通过才能被录取．某学生A三个环节依次通过的概率组成一个公差为
的等差数列，且第一个环节不通过的概率超过
，第一个环节通过但第二个环节不通过的概率为
，假定每个环节学生是否通过是相互独立的．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）记学生A通过的环节数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
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| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
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（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）记学生A通过的环节数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设第一、二、三关通过的概率依次是a，a+
，a+
，由题意知
，由此能求出a，从而能求出学生A被录取的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．
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| 8 |
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（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：
解：（Ⅰ）设第一、二、三关通过的概率依次是a，a+
，a+
，
则由题意知
，
解得a=
，
∴学生A被录取的概率p=
×
×
=
．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=1-
=
，
P（ξ=1）=
×[1-(
+
)]=
，
P（ξ=2）=
×(
+
)×[1-(
+
)]=
，
P（ξ=3）=
×(
+
)×(
+
)=
．
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
则由题意知
|
解得a=
| 1 |
| 4 |
∴学生A被录取的概率p=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
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| 2 |
| 3 |
| 64 |
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=1-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
P（ξ=1）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
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| 5 |
| 32 |
P（ξ=2）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 64 |
P（ξ=3）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 64 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
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| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 32 |
| 3 |
| 64 |
| 3 |
| 64 |
| 25 |
| 64 |
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
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| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 32 |
| 3 |
| 64 |
| 3 |
| 64 |
| 25 |
| 64 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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