Question

已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足条件：a（sinA-sinC）+csinC=bsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=sinx•cos（x+B）+

3

4

（x∈[0，

π

2

]）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理和余弦定理，求出cosB，即得B的值；
（Ⅱ）利用三角恒等变换，把f（x）化为

1

2

sin（2x+

π

3

），求出2x+

π

3

的取值范围，得出f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵a（sinA-sinC）+csinC=bsinB，
∴a（a-c）+c²=b²，
即a²+c²-b²=ac；
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵f（x）=sinx•cos（x+

π

3

）+

3

4

=

1

2

sinxcosx-

3

2

sin²x+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1；
∴f（x）的值域为[-

3

4

，

1

2

]．

点评：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题以及三角恒等变换问题，解题时应根据三角恒等变换公式和正弦、余弦定理进行解答，是综合题．