Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R
（1）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）=bx+5-2b，b∈R，当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数的零点,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令△≥0，f（1）•f（-1）≤0，解不等式组求得a的范围．
（2）画出两个函数的图象，根据题意知两函数图象在区间[1，4]上有交点，根据数形结合的思想求得b的范围．

解答： 解：（1）依题意知

△=16-4(a+3)≥0 f(1)•f(-1)=a(8+a)≤0

，求得-8≤a≤0．
（2）依题意知f（x）=x²-4x+3，图象如图，
变形g（x）=bx+5-2b得（y-5）=b（x-2），知其图象为恒过（2，5）点的直线，
依题意可知直线与抛物线在区间[1，4]上有交点，如图，
f（1）=0，f（4）=3，b为直线的斜率，
（1，0），（4，3）分别代入函数g（x）求得b分别为5，-1
以图象可知要使两函数图象在[1，4]区间上有交点需b≥5或b≤-1，
即b的范围是b≥5，或b≤-1．

点评：本题主要考查了函数的零点问题，直线与抛物线关系问题．第二问采用了数形结合的思想，也可采用联立方程根据零点的位置来确定b的范围．