德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．
其中的真命题是（　　）

若函数f（x）=

1

3

x³+x²+mx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）

已知函数y=log_a（x+b）的图象不经过第一象限，则a的取值范围是，b的取值范围是．

在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的摄影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D-AF-B平面角余弦值的变化范围是．

函数y=lg（2x-x²）的值域是，单调增区间是．

已知在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（2，0）的距离比它到y轴的距离多2，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹为C的方程；
（2）设斜率为k的直线l过定点P（-4，2），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围．

已知向量

m

（x，y），

n

（a，b），

m

和

n

均为单位向量，试证明：ax+by≤1．

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1-x），已知当x∈[0，1]时，f(x)=(

1

2

)1-x，则：
①f（x+2）=f（x）；
②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
④当x∈（3，4）时，f(x)=(

1

2

)x-3．
其中正确结论的个数是（　　）

如图是一个正三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=1，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求AB与平面AA₁C₁C所成的角的正弦值．

若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜测{a_n}的通项公式并证明；
（3）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，比较S_n与2

n

-1的大小关系，并给予证明．