Question

若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜测{a_n}的通项公式并证明；
（3）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，比较S_n与2

n

-1的大小关系，并给予证明．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题

分析：（1）利用数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

，代入计算，可得a₂，a₃，a₄
（2）猜想a_n=

1 n

．证明{

1

an2

}是以1为首项，1为公差的等差数列即可；
（3）S_n≤2

n

-1，利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

，
∴a₂=

1 2

，a₃=

1 3

，a₄=

1 4

；
（2）猜想a_n=

1 n

．
∵a_n+1=

an

1+ a 2 n

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=1，
∴{

1

an2

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

an2

=n，
∴a_n=

1 n

；
（3）S_n≤2

n

-1，证明如下，
n=1时，a₁=1，结论成立；
设n=k时，结论成立，即S_k≤2

k

-1，
∴S_k+1≤2

k

-1+

1 k+1

，
下面证明2

k

-1+

1 k+1

≤2

k+1

-1，
即证明2

k(k+1)

≤2k+1，
即证明4k²+4k≤4k²+4k+1，显然成立，
∴n=k+1时，结论成立，
综上，S_n≤2

n

-1．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式
设P（n）是关于自然数n的命题，若
1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立