Question

如图是一个正三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=1，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求AB与平面AA₁C₁C所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D，说明ODC₁C是平行四边形，从而证明OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂，作BH⊥A₂C₂于H，连结AH，说明∠BAH就是AB与面AA₁C₁C所成的角．从而求正弦值．

解答： 解：（1）证明：如图，作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．
则OD∥BB₁∥CC₁，
∵O是AB的中点，
∴OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1，
∴ODC₁C是平行四边形，
∴OC∥C₁D，
又∵C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁；
∴OC∥面A₁B₁C₁．
（2）解：如图，过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂，作BH⊥A₂C₂于H，
∵平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C，
∴BH⊥面AA₁C₁C．连结AH，
则∠BAH就是AB与面AA₁C₁C所成的角．
∵BH=

3

2

，AB=

5

，
∴sin∠BAH=

BH

AB

=

15

10

．

点评：本题考查了学生的空间想象力及作图能力，作出恰当的辅助线是解决本题的关键，属于中档题．