Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1-x），已知当x∈[0，1]时，f(x)=(

1

2

)1-x，则：
①f（x+2）=f（x）；
②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
④当x∈（3，4）时，f(x)=(

1

2

)x-3．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件得到函数的周期为2，利用函数的单调性奇偶性，周期性的之间的关系分别进行判断即可．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+1）=f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），故①正确．
由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2，
∵当x∈[0，1]时，f(x)=(

1

2

)1-x=2^x-1为增函数，
∴函数在[-1，0]上为减函数，在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，故②正确．
∵当x∈[0，1]时，f(x)=(

1

2

)1-x=2^x-1为增函数，∴当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为f（1）=1，最小值为f（0）=

1

2

．故③错误．
∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），则f（x）=f（-x）=2-x-1=(

1

2

)x+1，
当x∈（3，4）时，x-4∈（-1，0），则f（x）=f（x-4）=(

1

2

)x-4+1=(

1

2

)x-3，故④正确．
其中正确的是①②④，
故选：C

点评：本题主要考查命题的真假判断，根据条件得到函数的周期性是解决本题的关键．综合考查函数的性质的综合应用．