Question

已知在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（2，0）的距离比它到y轴的距离多2，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹为C的方程；
（2）设斜率为k的直线l过定点P（-4，2），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的轨迹问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；
（2）设出直线l的方程为y-1=k（x+2），和（1）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k（x+2）中取y=0得到x₀=-

2

k

-4．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x₀＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

解答： 解：（1）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+2，即

(x-2)2+y2

=|x|+2，
化简得，y²=4|x|+4x．
∴点M的轨迹C的方程为y²=

8x，x≥0 0，x＜0

；
（2）在点M的轨迹C中，记C₁：y²=8x（x≥0），C₂：y=0（x＜0）．
依题意，可设直线l的方程为y-2=k（x+4）．
代入抛物线方程，可得ky²-8y+16（2k+1）=0．
①当k=0时，此时y=2，把y=2代入轨迹C的方程，得x=

1

2

．
故此时直线l：y=2与轨迹C恰好有一个公共点（

1

2

，2）．
②当k≠0时，方程ky²-8y+16（2k+1）=0的判别式为△=-64（2k²+k-1）．
设直线l与x轴的交点为（x₀，0），
则由y-2=k（x+4），取y=0得x₀=-

2

k

-4．
若△＜0，x₀=-

2

k

-4＜0，解得k＜-1或k＞

1

2

．
即当k＜-1或k＞

1

2

时，直线l与C₁没有公共点，与C₂有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
若△=0，x₀=-

2

k

-4＜0或△＞0，x₀=-

2

k

-4≥0，解得k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0．
即当k=-1或k=

1

2

时，直线l与C₁只有一个公共点，与C₂有一个公共点．
当-

1

2

≤k＜0时，直线l与C₁有两个公共点，与C₂无公共点．
故当k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
若△＞0，x₀=-

2

k

-4＜0，解得-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

．
即当-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

时，直线l与C₁有两个公共点，与C₂有一个公共点．
此时直线l与C恰有三个公共点．

点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．