已知函数f（x）=（asinx+bcosx）•e^x在x=

π

3

处有极值，则

a

b

的值为（　　）

已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k，且S_k=

1

2

akak+1(k∈N^*），其中a₁=1．
（1）求数列{a_k}的通项公式；
（2）集合M={x|x=[

a 2 k

2012

]，1≤ak≤2011，k∈N}，其中[x]表示不大于x的最大整数，求集合M的元素个数的值．

若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（d为常数），则称数列{b_n}是公差为d的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若c₁=3，c₂=17，{c_n}是公差为8的“隔项等差”数列，求{c_n}的前15项之和；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
①求证：数列{a_n}为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得S_2k，S_2k+1，S_2k+2成等比数列（k∈N^*）？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r的图象上．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）记b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

数列{a_n}满足a₁=

π

6

，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{tan²a_n}是等差数列，并求数列{tan²a_n}的前n项和；
（Ⅱ）求正整数m，使得11sina₁•sina₂•…•sina_m=1．

给定三角形数表如图所示，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2009，2010，2011，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数之和，设第i行第j个数为f（i，j）（i，j∈N^*，i+j≤2012），则：f（8，1）=，f（i，j）=（用i和j表示）

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，n∈N^*，则a₄a₅等于．

cos

2π

3

=．

sin570°=．

若直线y=x+b与曲线x=

1-y2

有且只有一个交点，则b的取值范围是（　　）