Question

已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k，且S_k=

1

2

akak+1(k∈N^*），其中a₁=1．
（1）求数列{a_k}的通项公式；
（2）集合M={x|x=[

a 2 k

2012

]，1≤ak≤2011，k∈N}，其中[x]表示不大于x的最大整数，求集合M的元素个数的值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据已知条件可得由ak=Sk-Sk-1=

1

2

akak+1-

1

2

ak-1ak，a_k+1-a_k-1=2．判断即可．
（2）根据bk=

k2

2012

，1≤k≤2011，显然数列{[b_n]}中有部分项是重复的．运用规律求解，结合不等式判断求解．

解答： 解：（1）当k=1，由a1=S1=

1

2

a1a2及a₁=1，得a₂=2．
当k≥2时，由ak=Sk-Sk-1=

1

2

akak+1-

1

2

ak-1ak，
得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．
因为a_k≠0，所以a_k+1-a_k-1=2．
从而a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N^*．
故ak=k(k∈N*)．
（2）令bk=

k2

2012

，1≤k≤2011，
显然数列{[b_n]}中有部分项是重复的．
当b_k+1-b_k≤1时，[b_k]=[b_k+1]或[b_k]+1=[b_k+1]．
由b_k+1-b_k≤1得k≤1005，
即数列[b₁]，[b₂]，…，[b₁₀₀₆]为每相邻两项的差不超过1的不减数列．
由[b₁]=0，[b₁₀₀₆]=503，故[b₁]，[b₂]，…，[b₁₀₀₆]中有504个不同的数．
当b_k+1-b_k＞1时，[b_k]＜[b_k+1]．
所以数列[b₁₀₀₇]，[b₁₀₀₈]，…，[b₂₀₁₁]是每相邻两项的差不小于1的单调递增数列，故[b₁₀₀₇]，
[b₁₀₀₈]，…，[b₂₀₁₁]中共有1005个不同的数．
综上，集合M中共有1509个元素

点评：本题考查了数列的实际应用，属于难题．