题目内容
若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（d为常数），则称数列{bn}是公差为d的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若c1=3，c2=17，{cn}是公差为8的“隔项等差”数列，求{cn}的前15项之和；
（Ⅱ）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
①求证：数列{an}为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k，S2k+1，S2k+2成等比数列（k∈N*）？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）若c1=3，c2=17，{cn}是公差为8的“隔项等差”数列，求{cn}的前15项之和；
（Ⅱ）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
①求证：数列{an}为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k，S2k+1，S2k+2成等比数列（k∈N*）？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点：数列的应用,等差数列的性质
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）根据题意运用等差数列的求和公式求解即可，但是注意项数，及首项，末项，
（Ⅱ）分类讨论求解判断出f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|为公差为2的“隔项等差”数列．
由（S2k+1）2=S2k-S2k+2，则（2k2+2k+a）2=2k2•2（k+1）2，求出a的值．
（Ⅱ）分类讨论求解判断出f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
由（S2k+1）2=S2k-S2k+2，则（2k2+2k+a）2=2k2•2（k+1）2，求出a的值．
解答：
解：（Ⅰ）易得数列{cn}前15项之和=
+
=535
（Ⅱ）根据题意可得f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|（f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|）．
所以f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|为公差为2的“隔项等差”数列．
当f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|为偶数时，
f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|，
当f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|为奇数时，
f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|；
②当f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|为偶数时，
f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|；
当f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|为奇数时，
f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|f1(x)=
，f2(x)=(
)|x-m|．
故当n=2k时，S2k=2k2，S2k+1=2k2+2k+a，S2k+2=2(k+1)2，
解得a=0．
所以存在实数a=0，使得S2k，S2k+1，S2k+2成等比数列（k∈N*）
| (3+59)×8 |
| 2 |
| (17+65)×7 |
| 2 |
（Ⅱ）根据题意可得f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
所以f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
当f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
当f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
②当f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
当f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
f1(x)=
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
| mx |
| 4x2+16 |
| 1 |
| 2 |
故当n=2k时，S2k=2k2，S2k+1=2k2+2k+a，S2k+2=2(k+1)2，
解得a=0．
所以存在实数a=0，使得S2k，S2k+1，S2k+2成等比数列（k∈N*）
点评：本题考查了数列的实际应用，属于难题，思维量大，计算量大．
练习册系列答案
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