Question

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r的图象上．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）记b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）解法一：由点（n，S_n）均在函数y=2^x+r的图象上，可得Sn=2n+r．当n=1时，a₁=2+r，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．由于{a_n}为等比数列，利用通项公式可得a₂=a₁q即可得出．
解法二：S_n=2ⁿ+r，当n=1时，a₁=2+r，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．a₂=2，a₃=4．利用

a

2 2

=a1a3即可得出．
（II）由（Ⅰ）得an=2n-1．可得log₂2a_n=n．利用等差数列的通项公式可得b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

.

1

bn

=

2

n

-

2

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）解法一：∵点（n，S_n）均在函数y=2^x+r的图象上，
∴Sn=2n+r．
当n=1时，a₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-2^n-1-r=2^n-1．
又∵{a_n}为等比数列，∴2+r=2^1-1=1，
∴r=-1．
解法二：S_n=2ⁿ+r，
当n=1时，a₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-2^n-1-r=2^n-1．
a₂=2，a₃=4．
由

a

2 2

=a1a3，∴2²=4（2+r）．
解得r=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=2n-1．
∴log₂2a_n=log22n=n．
∴b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n

-

2

n+1

，
其前n项和T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．