Question

数列{a_n}满足a₁=

π

6

，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{tan²a_n}是等差数列，并求数列{tan²a_n}的前n项和；
（Ⅱ）求正整数m，使得11sina₁•sina₂•…•sina_m=1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由于对任意正整数n，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．可得tan²a_n+1=

1

cos2an

=1+tan²a_n，即可证明数列{tan²a_n}是等差数列，再利用通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）由cosa_n＞0，tana_n+1＞0，an+1∈(0，

π

2

)．可得tana_n，cosa_n，利用同角三角函数基本关系式可得sina₁•sina₂•…•sina_m=（tana₂•cosa₁）•（tana₃cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m-1）•（tana₁•cosa_m）=（tana₁•cosa_m），即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
故tan²a_n+1=

1

cos2an

=1+tan²a_n，
∴数列{tan²a_n}是等差数列，首项tan²a₁=

1

3

，以1为公差．
∴tan2an=

1

3

+(n-1)×1=

3n-2

3

．
∴数列{tan²a_n}的前n项和=

1

3

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2-

1

6

n．

（Ⅱ）解：∵cosa_n＞0，∴tana_n+1＞0，an+1∈(0，

π

2

)．
∴tana_n=

3n-2 3

，cosan=

3 3n+1

，
∴sina₁•sina₂•…•sina_m=（tana₁cosa₁）•（tana₂•cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m）
=（tana₂•cosa₁）•（tana₃cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m-1）•（tana₁•cosa_m）
=（tana₁•cosa_m）=

3

3

•

3 3m+1

=

1 3m+1

，
由

1 3m+1

=

1

11

，得m=40．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．