如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中∠ACB=∠A₁C₁B₁=∠A₂C₂B₂=90°，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2．
（1）求证：△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂；
（2）若△ABC、△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂的面积分别标记为S、S₁、S₂，猜想S、S₁、S₂之间的关系，并说明理由．

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线
AC上，直线DE交直线BA于点F，且∠BDA=∠CDE
（1）求证：BF•CE=AB²；
（2）当∠BAC=120°时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，使∠BGC=∠ABC，直线BG交直线AC于H，请你猜想AB，CE，AH这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想．

如图，锐角△ABC内接于圆O，AD⊥BC，BE⊥AC，OM⊥BC，垂足分别为D、E、M．
（1）若∠ACB=60°，求∠ABO的大小；
（2）△OMB与△AEB相似吗？为什么？
（3）判断△OBD与△OAE的面积是否相等？并说明理由．

夏季为了防晒，居民常常在户外修建防晒棚，如图1，从房子顶部伸出的防晒鹏与墙面的夹角为60°，房子的高AB为3米，
（1）如图2防晒棚伸出的长度AC为2米，太阳光线CD与地面的夹角为60°，问太阳光是否会照进大门内，如果不会，则求出光线CD差多远会照射到墙角B点处？
（2）如图3，太阳光线CD与地面的夹角为30°时，太阳光线CD恰好照进大门内1米处．求此时防晒棚AC应为多长？（注：AB为房子的高度也是大门所在的位置）

如图所示是淮河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树．小明为了测量该段河的宽度，先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=33°，然后沿河岸走40米到达N点，测得∠β=64°．请你帮小明算出河宽ER（结果保留整数）．
（参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

某住宅小区的物业管理部门为解决部门为解决住户停车困难问题，将一条道路开辟为停车场，停车位置如图所示，已知矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4m，BC=2.2m，∠DCF=40°．请计算停车位所占道路的宽度EF．（结果精确到0.1m）参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，AD平分∠BAC，CE⊥AB交AB于E．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）求线段BE的长度．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=4，DC=

9

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，求sinC的值．

有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、2的三个小球（除数字不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，记下扇形所对应的数，
小红任意摸出一个小球，记下小球上所对应的数，然后计算这两个数的乘积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的乘积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试判断△BCE的形状，并证明你的结论．