Question

如图，锐角△ABC内接于圆O，AD⊥BC，BE⊥AC，OM⊥BC，垂足分别为D、E、M．
（1）若∠ACB=60°，求∠ABO的大小；
（2）△OMB与△AEB相似吗？为什么？
（3）判断△OBD与△OAE的面积是否相等？并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）证明∠AOB=120°，∠BAO=∠ABO，即可解决问题．
（2）证明∠BOM=∠BAE；∠OMB=∠AEB=90°，即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；证明△AON∽△ADB，得到

OA

AB

=

ON

BD

；证明

OB

AB

=

OM

AE

；运用OA=OB，得到

ON

BD

=

OM

AE

，进而得到OM•BD=ON•AE，得到

1

2

OM•BD=

1

2

ON•AE，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=

180°-120°

2

=30°，
即∠ABO=30°．
（2）相似；理由如下：
如图，连接OC，则OB=OC；
∵OM⊥BC，
∴∠BOM=

1

2

∠BOC，而∠BAC=

1

2

∠BOC，
∴∠BOM=∠BAE；而BE⊥AC，
∴∠OMB=∠AEB=90°，
∴△OMB∽△AEB．
（3）相等；理由如下：
如图，过点O作ON⊥AC于点N；
∵AO=CO，ON⊥AC，
∴∠AON=

1

2

∠AOC，而∠ABC=

1

2

∠AOC，
∴∠AON=∠ABC，而∠ONA=∠BNO，
∴△AON∽△ADB，
∴

OA

AB

=

ON

BD

；
同理可证：△OMB∽△AEB，
∴

OB

AB

=

OM

AE

；而OA=OB，
∴

ON

BD

=

OM

AE

，OM•BD=ON•AE，
∴

1

2

OM•BD=

1

2

ON•AE，
即△OBD与△OAE的面积相等．

点评：该题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握定理本质内容，这是灵活运用解题的基础和关键．