如图，等边△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，BC与DE相交于点F，连接AF并延长，交BE于点G，求证：AF⊥BE．

几何模型
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点B关于直线l的对称点B’，连结AB’交l于点P，则PA+PB=AB’的值最小（不必证明）．
直接应用
如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为．
变式练习
如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是（

AN

）的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．
深化拓展
（1）如图4，在锐角△ABC中，AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．
（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）

课堂上，老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下图：
（1）如果该矩形纸片的长为4，宽为3，则图1、图2两图中的菱形面积分别为：；；
（2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示：在矩形ABCD中，设AB=3，AD=4，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积．
（3）借题发挥：如图4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合，折痕交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后与BC交于点M，试求：△EBM的面积．

DE为△ABC的中位线，连接BE，且BE=BC，延长DE到点F，使EF=BE，连接CF，BF．
（1）CE与BF有什么位置关系？并证明．
（2）若BC=4，∠EBC=60°，求四边形BCFE的面积．

概念理解
把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“剖分-重拼”．如图①，一个有一组对边平形的四边形可以剖分-重拼为一个三角形；如图②，任意两个正方形可以剖分-重拼为一个正方形．
尝试操作
（1）如图③，把图中的三角形剖分-重拼为一个矩形（只要画出示意图，不需说明操作步骤）；
阅读解释
（2）如何把一个矩形ABCD（如图④）剖分-重拼为一个正方形呢？操作如下：
Ⅰ．画辅助图．作射线OX，在射线OX上截取OM=AB，MN=BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥射线OX，与半圆交于点I；
Ⅱ．图④中，在CD上取点F，使AF=MI，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．
请说明按照上述操作方法得到的四边形EBHG是正方形．

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°
（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空：设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，若AC=2，则S₁=；S₂=S₁与S₂的数量关系是．

（2）猜想论证：
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想；

（3）拓展探究：
①如图3所示，若当△DEC绕点C旋转角大于90°且小于270°，AC=a，则四边形ABDE的最大面积是；
②如图4，已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E，若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE，请计算相应的BF的长．

小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是．

如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8．在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1.2的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放个．

如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，视为无效，重新转动一次转盘），此过程称为一次操作．请用树状图或列表法，求事件“两次操作，第一次操作得到的数与第二次操作得到的数的绝对值相等”发生的概率．

如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE：ED=2：3，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）