Question

DE为△ABC的中位线，连接BE，且BE=BC，延长DE到点F，使EF=BE，连接CF，BF．
（1）CE与BF有什么位置关系？并证明．
（2）若BC=4，∠EBC=60°，求四边形BCFE的面积．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：

分析：（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，即可判断BCFE是菱形．则菱形的对角线相互垂直．
（2）利用菱形的性质和面积公式进行解答．

解答：解：（1）CE⊥BF，理由如下：
∵DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE．
∵BE=BC，
∴BE=2DE，
∵EF=BE，
∴EF=2DE．
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE且DE∥BC．
∴EF=BC．
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形．
∴CE⊥BF；

（2）由（1）知，四边形BCFE是菱形，则BE=BC，且S_△BEC=

1

2

S_{四边形BCFE}．
∵BC=4，∠EBC=60°，
∴S_△BEC=

1

2

BE•BC•sin60°=

1

2

×4×4×

3

2

=

3

，
∴S_{四边形BCFE}=2

3

．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理和三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的五种判定方法．