Question

几何模型
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点B关于直线l的对称点B’，连结AB’交l于点P，则PA+PB=AB’的值最小（不必证明）．
直接应用
如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为

 

．
变式练习
如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是（

AN

）的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．
深化拓展
（1）如图4，在锐角△ABC中，AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．
（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：直接应用，如图2，连接BM，则BM的长就是DN+NM的最小值，利用勾股定理即可求解；
变式练习：如图3，作B关于MN的对称点C，则C在圆上，且∠AOC=90°，连接AC，则AC的长就是AP+BP的最小值；
（1）作出B关于AM的对称点C，作CE⊥AB于点E，CE的长就是BM+MN的最小值，利用三角函数即可求解；
（2）作点B关于直线AC的对称点B'，连接DB'交AC于点P，即为所求．

解答：解：直接应用，如图2，连接BM，则BM的长就是DN+NM的最小值．
在直角△BCM中，BC=8，CM=8-2=6，
则BM=

BC2+CM2

=

82+62

=10；


变式练习：如图3，作B关于MN的对称点C，则C在圆上，且∠AOC=90°，
连接AC，则AC的长就是AP+BP的最小值．
△AOC是等腰直角三角形，则AC=

2

OA=

2

，
即AP+BP的最小值是

2

；



深化拓展：（1）图4．作出B关于AM的对称点C，作CE⊥AB于点E．
则AC=AB=4

2

，
CE的长就是BM+MN的最小值，
∵∠BAC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=

2

2

AC=

2

2

×4

2

=4；
（2）作点B关于直线AC的对称点B'，连接DB'交AC于点P，即为所求．

点评：本题考查了轴对称的性质，以及勾股定理和正方形的性质的综合应用，正确确定量线段的长度的最小值是本题的关键．