Question

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°
（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空：设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，若AC=2，则S₁=

 

；S₂=

 

S₁与S₂的数量关系是

 

．

（2）猜想论证：
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想；

（3）拓展探究：
①如图3所示，若当△DEC绕点C旋转角大于90°且小于270°，AC=a，则四边形ABDE的最大面积是

 

；
②如图4，已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E，若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE，请计算相应的BF的长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=

1

2

AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）①四边形ABDE的面积是△ABC的面积+△CDE的面积+△BCD的面积+△ACE的面积，而△ABC的面积+△CDE的面积可以直接求得，根据（2）可得△BCD的面积和△ACE的面积相等，△BCD中已知CB和CD的长，则∠BCD=90°时三角形的面积最大，此时四边形的面积最大，即可求解；
②过点D作DF₁∥BE，求出四边形BEDF₁是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF₁，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F₁为所求的点，过点D作DF₂⊥BD，求出∠F₁DF₂=60°，从而得到△DF₁F₂是等边三角形，然后求出DF₁=DF₂，再求出∠CDF₁=∠CDF₂，利用“边角边”证明△CDF₁和△CDF₂全等，根据全等三角形的面积相等可得点F₂也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．

解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=

1

2

AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
故答案为：2

3

；2

3

；S₁=S₂；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，

∠ACN=∠DCM ∠CMD=∠N AC=CD

，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂；

（3）①S_△ABC=S_△CDE=

1

2

a•

3

a=

3 a2

2

，
△BCD中，BC=

3

a，CD=AC=a，则当∠BCD=90°时△BCD的面积最大，最大值是：

1

2

×a×

3

a=

3

2

a²．
此时S△ACE=S△BCD=

3

2

a²．
故四边形ABDE的面积的最大值是：2

3

a²．
故答案是：2

3

；

②如图，过点D作DF₁∥BE，易求四边形BEDF₁是菱形，
所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，
此时S_△DCF1=S_△BDE；
过点D作DF₂⊥BD，
∵∠ABC=60°，F₁D∥BE，
∴∠F₂F₁D=∠ABC=60°，
∵BF₁=DF₁，∠F₁BD=

1

2

∠ABC=30°，∠F₂DB=90°，
∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等边三角形，
∴DF₁=DF₂，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=

1

2

×60°=30°，
∴∠CDF₁=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，
∵在△CDF₁和△CDF₂中，

DF1=DF2 ∠CDF1=∠CDF2 CD=CD

，
∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），
∴点F₂也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

1

2

×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=

1

2

×4÷cos30°=2÷

3

2

=

4 3

3

，
∴BF₁=

4 3

3

，BF₂=BF₁+F₁F₂=

4 3

3

+

4 3

3

=

8 3

3

，
故BF的长为

4 3

3

或

8 3

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．