11．(全国Ⅰ18)(本小题满分12分)

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)设侧面为等边三角形，求二面角的大小．

解：(1)取中点，连接交于点，

，

，

又面面，

面，

．

，

，

，即，

面，

．

(2)在面内过点做的垂线，垂足为．

，，

面，

，

则即为所求二面角．

，，

，

，

则，

．

10．(辽宁19)(本小题满分12分)

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b(0<b<1)，截面PQEF∥，截面PQGH∥．

(Ⅰ)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(Ⅱ)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

(Ⅲ)若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

解法一：

(Ⅰ)证明：在正方体中，，，

又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．··································································· 4分

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．······································································ 8分

(Ⅲ)解：设交于点，连结，

因为平面，

所以为与平面所成的角．

因为，所以分别为，，，的中点．

可知，．

所以．················································································· 12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

(Ⅰ)证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．········································································· 4分

(Ⅱ)证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．················································· 8分

(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知是平面的法向量．

由为中点可知，分别为，，的中点．

所以，，因此与平面所成角的正弦值等于

． 12分

9．(湖南18)(本小题满分12分)

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.

解　　 解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.

在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.

解法二　　 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，P()，E().

(Ⅰ)因为，平面PAB的一个法向量是＝(0,1,0)，所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),

设=(x₁,y₁,z₁)是平面PBE的一个法向量，则有

所以y₁=0,x_­1=z₁.故可取=(,0,1).

而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).

于是，cos＜,＞＝.

故二面角A-BE-P的大小是

8．(江苏选修)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．

解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,

　由，得，所以

显然不是平角，所以为钝角等价于

　，则等价于

即 ，得

因此，的取值范围是

7．(江西20)如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

(1)求证：⊥面；

(2)求二面角的大小．

解 ：(1)证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，

则⊥。　　　　　　　

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

(2)作⊥于，连。

因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，　　　　　　　

就是二面角的平面角。　　　　

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：(1)以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以　　　 　

所以平面　　　　　　

由∥得∥，故：平面

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为　　　　　　　　　

6．(江苏16)(14分)

在四面体中，，且E、F分别是AB、BD的中点，

求证：(1)直线EF//面ACD

(2)面EFC⊥面BCD

[解析]：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，

考查空间想象能力、推理论证能力。

(1)∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD

又∵面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD

(2)

5．(宁夏18)(本小题满分12分)

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出(单位：cm)

(Ⅰ)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

(Ⅲ)在所给直观图中连结，证明：面．

解：(Ⅰ)如图

　　　　　　　　　　　　　　 ····················································································· 3分

(Ⅱ)所求多面体体积

．···································································· 7分

(Ⅲ)证明：在长方体中，

连结，则．

因为分别为，中点，

所以，

从而．又平面，

所以面． 12分

4．(广东18)(本小题满分14分)

如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP-△BAD.

(1)求线段PD的长；

(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.

解：(1)　 BD是圆的直径

　　　　　 　　　　又　 ,

　 　,　 　;

　 (2 ) 在中，

　　 　　又　

　　 　底面ABCD

三棱锥的体积为

　　 　.

3．(福建19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

解法一：

(Ⅰ)证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

(Ⅱ)连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由(Ⅰ)知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由(Ⅱ)得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

(Ⅰ)同解法一，

(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A(0，-1，0)，B(1，-1，0)，C(1，0，0)，

D(0，1，0)，P(0，0，1).

所以＝(-1，1，0)，＝(t，-1，-1)，

∞〈、〉=，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

(Ⅲ)设平面PCD的法向量为n＝(x₀,y₀,x₀)，

由(Ⅱ)知=(-1，0，1)，＝(-1，1，0)，

则　n·＝0，所以　-x₀+ x₀=0_,

n·＝0，　　-x₀+ y₀=0， 即x₀=y₀=x₀,　　

取x₀=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

2．(北京16)(本小题共14分)

如图，在三棱锥中，，，，．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：

(Ⅰ)取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

(Ⅱ)，，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

解法二：

(Ⅰ)，，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

(Ⅱ)如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．