摘要：3． 如图.在四棱锥P-ABCD中.侧面PAD⊥底面ABCD.侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形.其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2.O为AD中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD, (Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值, (Ⅲ)求点A到平面PCD的距离. 解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD卡中PA＝PD.O为AD中点.所以PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD.平面PAD∩平面ABCD＝AD.PO平面PAD. 所以PO⊥平面ABCD. (Ⅱ)连结BO.在直角梯形ABCD中.BC∥AD,AD=2AB=2BC. 有OD∥BC且OD＝BC.所以四边形OBCD是平行四边形. 所以OB∥DC. 由(Ⅰ)知PO⊥OB.∠PBO为锐角. 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD＝2AB＝2BC＝2.在Rt△AOB中.AB＝1.AO＝1.所以OB＝. 在Rt△POA中.因为AP＝.AO＝1.所以OP＝1. 在Rt△PBO中.PB＝, cos∠PBO=, 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为. 得CD＝OB＝. 在Rt△POC中.PC＝. 所以PC＝CD＝DP.S△PCD=·2=. 又S△= 设点A到平面PCD的距离h. 由VP-ACD=VA-PCD. 得S△ACD·OP＝S△PCD·h. 即×1×1＝××h. 解得h＝. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以O为坐标原点.的方向分别为x轴.y轴.z轴的正方向.建立空间直角坐标系O-xyz. 则A.B.C. D.P. 所以＝.＝(t.-1.-1). ∞〈.〉=. 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为. (Ⅲ)设平面PCD的法向量为n＝(x0,y0,x0). 由(Ⅱ)知=.＝. 则 n·＝0.所以 -x0+ x0=0, n·＝0. -x0+ y0=0. 即x0=y0=x0, 取x0=1.得平面的一个法向量为n=. 又=. 从而点A到平面PCD的距离d＝

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