5.

解法一:

   ⑴ 延长C1F交CB的延长线于点N,连结AN,因为F是BB1的中点,所以F为C1N的中点,B为CN的中点.

     又M是线段AC1的中点,故MF//AN

     

     ∴  

   ⑵ 证明:连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可知:平面ABCD,

     又∵BD平面ABCD,∴  

     ∵ 四边形ABCD为菱形,∴

     

     ∴  

     ∵ 在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,

    ∴ 四边形DANB为平行四边形.

     故NA∥BD,平面ACC1A1.

    ACC1A1.

   ⑶ 由⑵知BD⊥ACC1A1,又AC1 ACC1A1,∴BD⊥AC1

    ∵BD//NA,∴AC1⊥NA.,又由BD⊥AC可知NA⊥AC,

    ∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角

    在Rt△C1AC中,,故∠C1AC=30°.

    ∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.

解法二:

设ACBD=O,因为M、O分别为C1A、CA的中点,所以,MO//C1C,又由直四棱柱知C1C⊥平面ABCD,所以,MO⊥平面ABCD.在棱形ABCD中,BD⊥AC,所以,OB、OC、OM两两垂直.故可以O为原点,OB、OC、OM所在直线分别为轴、轴、轴如图建立空间直角坐标系,若设|OB|=1,则B(1,0,0),B1(1,0,2),A(0,,0),C(0,,0),C1(0,,2).

 

⑴ 由F、M分别为B1B、C1A的中点可知:

F(1,0,1),M(0,0,1),

所以(1,0,0)=

不共线,所以,MF∥OB.

平面ABCD,OB平面ABCD,

∥平面ABCD.

(1,0,0)为平面ACC1A1的法向量.

为平面AFC1的一个法向量,则

,  得:

,此时,.

由于,所以,平面AFC1⊥平面ACC1A1.

为平面ABCD的法向量,设平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大

小为,则

所以=30°或150°.

即平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.

3.

解法一:

   ⑴ 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.

    因为BC=CC1,所以BCC1B1为正方形.

     又,所以AC⊥BC,

     所以AC⊥平面BCC1B1

     连结B1C,则B1C为AB1在平面BCC1B1上的射影,

     因为B1C⊥BC1,所以AB1⊥BC1

   ⑵ 因为BC//B1C1,BC面AB1C1,所以BC//面AB1C1,所以点B到平面AB1C1的距离等于点C到平面AB1C1的距离.

   连结A1C交AC1于H,则CH⊥AC1,由于B1C1⊥A1C1,B1C1⊥CC1,所以B1C1⊥平面ACC1A1,B1C1⊥CH,所以CH⊥平面AB1C1,所以CH的长度为点B到平面AB1C1的距离.

   因为,所以点B到平面AB1C1的距离为

   ⑶ 取A1B1中点D,连结C1D.因为△A1B1C1是等腰三角形,所以C1D⊥A1B1,又BB1⊥平面A1B1C1,所以BB1⊥C1D,所以C1D⊥平面ABB1A1

   作DE⊥AB1于E,连C1E,则DE为C1E在平面ABB1A1上的射影,所以C1E⊥AB1,∠C1ED为二面角C1-AB1-A1的平面角.

   由已知

   ∴

   即二面角C1-AB1-A1的大小为60°.

解法二:

⑴ 如图建立直角坐标系,其中C为坐标原点.

 

依题意A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),

因为,所以AB1⊥BC1.

⑵ 设是平面AB1C1的法向量,

所以

,则

    因为,所以,B到平面AB1C1的距离为.

⑶ 设是平面A1AB1的法向量.

  由

      令=1,则

    因为

    所以,二面角C1-AB1-A1的大小为60°.

 0  52640  52648  52654  52658  52664  52666  52670  52676  52678  52684  52690  52694  52696  52700  52706  52708  52714  52718  52720  52724  52726  52730  52732  52734  52735  52736  52738  52739  52740  52742  52744  52748  52750  52754  52756  52760  52766  52768  52774  52778  52780  52784  52790  52796  52798  52804  52808  52810  52816  52820  52826  52834  447348 

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