摘要：3． 解法一: ⑴ 在直三棱柱ABC-A1B1C1中.CC1⊥平面ABC.所以CC1⊥AC． 因为BC=CC1.所以BCC1B1为正方形． 又.所以AC⊥BC. 所以AC⊥平面BCC1B1. 连结B1C.则B1C为AB1在平面BCC1B1上的射影. 因为B1C⊥BC1.所以AB1⊥BC1． ⑵ 因为BC//B1C1.BC面AB1C1.所以BC//面AB1C1.所以点B到平面AB1C1的距离等于点C到平面AB1C1的距离． 连结A1C交AC1于H.则CH⊥AC1.由于B1C1⊥A1C1.B1C1⊥CC1.所以B1C1⊥平面ACC1A1.B1C1⊥CH.所以CH⊥平面AB1C1.所以CH的长度为点B到平面AB1C1的距离． 因为.所以点B到平面AB1C1的距离为． ⑶ 取A1B1中点D.连结C1D．因为△A1B1C1是等腰三角形.所以C1D⊥A1B1.又BB1⊥平面A1B1C1.所以BB1⊥C1D.所以C1D⊥平面ABB1A1． 作DE⊥AB1于E.连C1E.则DE为C1E在平面ABB1A1上的射影.所以C1E⊥AB1.∠C1ED为二面角C1-AB1-A1的平面角． 由已知. ∴ . 即二面角C1-AB1-A1的大小为60°． 解法二: ⑴ 如图建立直角坐标系.其中C为坐标原点. 依题意A.B1.C1. 因为.所以AB1⊥BC1. ⑵ 设是平面AB1C1的法向量. 由得 所以 令.则. 因为.所以.B到平面AB1C1的距离为. ⑶ 设是平面A1AB1的法向量. 由 令=1.则 因为. 所以.二面角C1-AB1-A1的大小为60°.
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鸡兔同笼
你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；(2)如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12(只)．显然，鸡的只数就是35－12＝23(只)了．
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．这种思维方法叫化归法．
化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题．
1．古代《孙子算经》就有这么好的解法——化归法，这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．对此，谈谈你的看法．
2．我国古代数学研究一直处于领先地位，现在有所落后了，对此，我们不应只感叹古人的伟大，而更应该树立为科学而奋斗终身的信心，同学们，你们准备好了吗？