1.　　　　 如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形AMND的面积y(cm²)与两动点运动的时间t(s)的函数图象大致是( 　)

4、如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)、(14，3)、(4，3)。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

(1)设从出发起运动了秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含的代数式表示，不要求写出的取值范围)；

(2)设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半．

①试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；

②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应5的的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．

分析：本例是平面直角坐标系与方程、函数、不等式及几何型问题的综合题，解题关键是正确地用的代数式表示出点的坐标，特别注意直线PQ同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分要分两类讨论．

作业：

3、如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒(0<t<5)后，四边形ABQP的面积为S米²。(1)求面积S与时间t的关系式；

(2)在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。

分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。

2、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm² .

① 求S关于t的函数关系式；

② (附加题) 求S的最大值.

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

3、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是线段AC上的两个动点，分别从A、C两点以相同的速度1㎝/s向C、A运动，若BD=12㎝，AC=16㎝，当t　　　　 时，四边形DEBF为平行四边形；当时间t=　　　　 时，四边形DEBF为矩形。

例题讲解：

2、若点P为边长为5的等边三角形内的一个动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，则PD+PE+PF=　　　　 ；反之，若PD=6，PE=10，PF=8，则等边△ABC的面积为　　　　　　 ；

1、如图，点P是边为1的菱形ABCD对角线AC的一个动点，点M、N分别是AB、BC的中点，则MP+NP的最小值是　　　　　　 ；

2、(09齐齐哈尔)直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段　　 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．

(1)直接写出两点的坐标；

(2)设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；

(3)当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

解(1)A(8，0)B(0，6)·················· 1分

(2)

点由到的时间是(秒)

点的速度是(单位/秒)·· 1分

当在线段上运动(或0)时，

··························································································································· 1分

当在线段上运动(或)时，,

如图，作于点，由，得，··································· 1分

·················································································· 1分

(自变量取值范围写对给1分，否则不给分．)

(3)··········································································································· 1分

···························································· 3分

3(09深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

(1)连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：(1)⊙P与x轴相切.

　　 　∵直线y=－2x－8与x轴交于A(4，0)，

与y轴交于B(0，－8)，

∴OA=4，OB=8.

由题意，OP=－k，

∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中，k²+4²=(8+k)²，

∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，

∴⊙P与x轴相切.

(2)设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.

∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，

　∴PE=.

∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，

∴△AOB∽△PEB，

∴，

∴

∴，

∴，

∴.

当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，

∴k=－－8，

∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.

4(09哈尔滨)　 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(－3，4)，

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

　　 (1)求直线AC的解析式；

　　 (2)连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；

　　 (3)在(2)的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

解：　

5(09河北)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0)．

(1)当t = 2时，AP =　　　 ，点Q到AC的距离是　　　 ；

(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

(4)当DE经过点C　时，请直接写出t的值．

解：(1)1，；

(2)作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

(3)能．

　 ①当DE∥QB时，如图4．

　 ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

　　 此时∠AQP=90°．

由△APQ　∽△ABC，得，

即． 解得．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP　∽△ABC，得 ，

即． 解得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(4)或．

①点P由C向A运动，DE经过点C．

连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

，．

由，得，解得．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

，]

6(09河南))如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．

(1)①当　　　　 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为　　　　 ；

②当　　　　 度时，四边形是直角梯形，此时的长为　　　　 ；

(2)当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．

解(1)①30，1；②60，1.5；　　　　　　　　　　　 ……………………4分

　 (2)当∠α=90⁰时，四边形EDBC是菱形.

　　　 ∵∠α=∠ACB=90⁰，∴BC//ED.

　　　 ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形.　　　　 ……………………6分

　　　 在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，∠B=60⁰,BC=2,

∴∠A=30⁰.

∴AB=4,AC=2.

∴AO== .　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分

在Rt△AOD中，∠A=30⁰，∴AD=2.

∴BD=2.

∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形　　　　　　　　　　　　 ……………………10分

7(09济南)如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．

(1)求的长．

(2)当时，求的值．

(3)试探究：为何值时，为等腰三角形．

解：(1)如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形

∴····························································································· 1分

在中，

···································································· 2分

在中，由勾股定理得，

∴························································· 3分

(2)如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形

∵

∴

∴

∴·························································································· 4分

由题意知，当、运动到秒时，

∵

∴

又

∴

∴································································································· 5分

即

解得，·································································································· 6分

(3)分三种情况讨论：

①当时，如图③，即

∴········································································································· 7分

②当时，如图④，过作于

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得

在中，

又在中，

∴

解得····································································································· 8分

解法二：

∵

∴

∴

即

∴········································································································· 8分

③当时，如图⑤，过作于点.

解法一：(方法同②中解法一)

解得

解法二：

∵

∴

∴

即

∴

综上所述，当、或时，为等腰三角形·················· 9分

8(09江西)如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.

(1)求点到的距离；

(2)点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.

①当点在线段上时(如图2)，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；

②当点在线段上时(如图3)，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

解(1)如图1，过点作于点························· 1分

∵为的中点，

∴

在中，∴············· 2分

∴

即点到的距离为··········································· 3分

(2)①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．

∵∴

∵∴，

同理······························································································· 4分

如图2，过点作于，∵

∴

∴

∴

则

在中，

∴的周长=············································· 6分

②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．

当时，如图3，作于，则

类似①，

∴································································································ 7分

∵是等边三角形，∴

此时，········································· 8分

　　 当时，如图4，这时

此时，

当时，如图5，

则又

∴

因此点与重合，为直角三角形．

∴

此时，

综上所述，当或4或时，为等腰三角形．························ 10分

9(09兰州)如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为(0，10)，(8，4)，　

点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，　

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，　　

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：(1)(1，0)···································································································· 1分

　点P运动速度每秒钟1个单位长度．··········································································· 2分

(2) 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．

　 ∴．

　在Rt△AFB中，　　　　　　　　 　3分

　过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．

∵ ∴△ABF≌△BCH．

　∴．

∴．

∴所求C点的坐标为(14，12)． 　　　　　　　　　　　4分

(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，

则△APM∽△ABF．

　∴．　 ．

　∴．　 ∴．

设△OPQ的面积为(平方单位)

∴(0≤≤10) ························································ 5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

　∵<0　 ∴当时， △OPQ的面积最大．······························ 6分

　此时P的坐标为(，) ．················································································· 7分

(4)　 当 或时，　 OP与PQ相等．························································· 9分

10(09临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

　 (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

解：(1)正确．··························································· (1分)

证明：在上取一点，使，连接． (2分)

．，．

是外角平分线，

，

．

．

，，

．

(ASA)．············································································ (5分)

．······································································································· (6分)

(2)正确．····························································· (7分)

证明：在的延长线上取一点．

使，连接．········································ (8分)

．

．

四边形是正方形，

．

．

．

(ASA)．··········································································· (10分)

．······································································································ (11分)

11(09天津)已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．

(Ⅰ)若折叠后使点与点重合，求点的坐标；

中，厘米，厘米，点为的中点．

(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

解：(1)①∵秒，

∴厘米，

∵厘米，点为的中点，

∴厘米．

又∵厘米，

∴厘米，

∴．

又∵，

∴，

∴．·························································································· (4分)

②∵， ∴，

又∵，，则，

∴点，点运动的时间秒，

∴厘米/秒．············································································· (7分)

(2)设经过秒后点与点第一次相遇，

由题意，得，

解得秒．

∴点共运动了厘米．

∵，

∴点、点在边上相遇，

∴经过秒点与点第一次在边上相遇．················································ (12分)