16.(本小题满分8分)设f(x)是一次函数，f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比数列，求.

分析 本题为函数、数列、极限的一道综合题.解题关键是先利用待定系数法确定f(x)的解析式，再求f(1)+f(2)+…+f(n),然后利用极限的运算法则求极限.

解 设f(x)=kx+b,

由条件，得8k+b=15,∴b=15-8k.

∵f (2), f (5), f (4)成等比数列,

∴(5k+b)²=(2k+b)(4k+b). 　　　2分

把b=15-8k代入，

得(15-3k)²=(15-6k)(15-4k).

解得k=4,k=0(舍),b=-17.

∴f(x)=4x-17.　　　 4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n

=4·-17n=2n²-15n.　　 6分

∴

=　　　8分

15.(本小题满分8分)平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:n个圆把平面分成f(n)=n²-n+2个部分.

分析 本题的关键在于如何应用归纳假设及已知条件分析当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆的交点个数,做到有目的的变形.

证明 (1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,又1²-1+2=2,故命题成立.

(2)假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即满足题设条件的k个圆把平面分成f(k)=k²-k+2个部分.2分

那么当n=k+1时,设第k+1个圆为⊙O,由题意,它与k个圆中每个圆交于两点,又无三个圆交于同一点,于是它与其他k个圆交于2k个点,这些点把⊙O分成2k条弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.　　 6分

这就是说,当n=k+1时,命题也成立.

综上可知,对一切n∈N*,命题都成立.　　 8分

14.已知,则a的值为　　　　　 .

分析　本题考查f(x)的极限.因为把x=x₀代入分式的分子,分子不为0.又因为f(x)存在,所以把x=x₀代入分母,分母必不为0.故采用直接代入法即可求极限.

解 ∵

答案

13.★设函数在x=0处连续,则实数a的值为　　　　　 .

分析 本题考查函数的极限及函数f(x)在点x₀处连续的定义.

解 ∵函数f(x)在点x₀处连续,

又∵f(0)=a,∴a=.

答案

12.()=　　　　　　　　　 .

分析 本题考查数列极限的运算.此题属于“∞-∞”型,应先分子有理化,再求极限.

解 (n-n+1)==

答案 0

11.用数学归纳法证明,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　 .

解析 因为自变量取n时,不等式的左边为n项和的形式,所以当n=k+1时应为k+1项的和,它们是,右边只需把n=k+1代入即可,它们是,故应推证的不等式是

答案

10. 则a的取值范围是(　　 )

A.a=1　　　　　　　　　　　　 B.a＜-1或a＞

C.-1＜a＜　　　　　　　　　　 D.a＜-或a＞1

分析 本题考查极限qⁿ=0,|q|＜1.要求a的范围,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

解法一 ∵()ⁿ=0,∴||＜1

∴a＜-1或a＞.

解法二 本题可利用特殊值代入法,当a=1时成立,排除C、D.再令a=,∵()ⁿ=0成立,∴排除A.

答案 B

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

9.★用数学归纳法证明命题“n³+(n+1)³+(n+2)³(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(　　)

A.(k+3)³　　　　　B.(k+2)³

C.(k+1)³D.(k+1)³+(k+2)³

分析　本题考查用数学归纳法证明整除性问题.只需把n=k+1时的情况拼凑成一部分为假设的形式,另一部分为除数的倍数形式即可.

解　当n=k+1时,被除数为(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=k³+(k+1)³+(k+2)³+9(k²+3k+3).故只需展开(k+3)³即可.

答案　A

8.★欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2_n>n³,n₀为验证的第一个值,则(　　 )

A.n₀=1

B.n₀为大于1小于10的某个整数

C.n₀≥10

D.n₀=2

解析 本题考查用数学归纳法证明问题时,第一步初始值n₀的确定.不能认为初始值都从n₀=1开始,需根据实际题目而定.当1≤n＜10时,2ⁿ与n³的大小不确定,而当n≥10时,总有2ⁿ>n³.

答案 C

7.★已知数列{a_n}是由正数组成的数列,a₁=3,且满足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n>1且为整数,c>2,则等于(　　 )

A.-1　　　　　 B.1　　　　 C.　　　　 D.

分析 本题考查数列的极限及运算能力.

解 ∵a_n>0,lga_n=lga_n-1+lgc,

∴a_n=a_n-1·c,=c,

即数列{a_n}是首项为a₁=3,公比为c的等比数列,a_n=3·c^n-1(c>2),

答案 A