32．(2004. 天津卷)(本小题满分14分)

　　 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

　 (I) 求椭圆的方程及离心率；

　 (II)若求直线PQ的方程；

　 (III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明

。

(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。

(I)解：由题意，可设椭圆的方程为

　 由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(II)解： 由(I)可得

设直线PQ的方程为由方程组

得　　　

依题意 得

设 则

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由直线PQ的方程得　　 于是

　　　　 　　　③

　　　 ④　　　　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分　　　　　　　　　　　　

由①②③④得从而

所以直线PQ的方程为

　　　　　 或　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

(III)证明：由已知得方程组

注意解得　 　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

因故　　　　　

而所以

　　　　　 　　　　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分

31．解：(Ⅰ)依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得　　

　　 ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以　 　　

由点P(0，m)分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是(0，－m)，从而.

所以　

(Ⅱ)由 得点A、B的坐标分别是(6，9)、(－4，4).

由 　得

所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是

则

解之得

所以圆C的方程是　

即　

31．(2004.湖南理)(本小题满分12分)

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

(I)设点P分有向线段所成的比为，证明:；

(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

30．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分.

(1)解法一：直线l过点M(0，1)设其斜率为k，则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

将①代入②并化简得，，所以

于是

…………6分

设点P的坐标为则

消去参数k得　　 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为………………8分

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

　 ④　　　　　 　　⑤

④-⑤得，所以

当时，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　 将⑦代入⑥并整理得 　　⑧

当时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0，0)

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

………………8分

(2)解：由点P的轨迹方程知所以

……10分

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，

最大值为……………………12分

注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.

30．(2004. 辽宁卷)(本小题满分12分)

设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，

点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

　 (1)动点P的轨迹方程；

　 (2)的最小值与最大值.

29、(2004. 上海卷文科)圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为　 (x－2)²+(y+3)²=5　　　　 .

27、(2004.上海理)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是　　　　　　　　　　 用代数的方法研究图形的几何性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　.

28、(2004. 上海卷文科)当x、y满足不等式组	2≤x≤4	时,目标函数k=3x-2y的最大值为6 .
y≥3
x+y≤8

26、圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为　　　　 　(x－2)²+(y+3)²=5 　　　　　　　.

25、(2004.上海理)设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为　 (5,0)　　 .

24. (2004. 天津卷)如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是__________________