2.定义法
[例3]设集合M={直线},P={圆},则集合M∩P中的元素个数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1或2
[分析]本题考查集合的交集与并集的运算,是一道概念性极强的试题,可使用定义法求解.
[解]因集合M={直线},P={圆},集合M∩P中的元素既是直线且又是圆,显然这样的元素不存在,从而M∩P=
,答案选A.
[点悟]①解题关键点是正确理解集合的交集与并集的运算及M∩P的意义.集合的交集是由既属于集合A且又属于集合B的公共元素组成的集合,它强调的是“且”的关系;并集是由属于A或属于集合B之一的元素组成的集合,它强调的是“或”的关系.
②解题规律:定义法解题的一般步骤为:(ⅰ)分析和研究所给问题中已知的条件和待求的解题目标;(ⅱ)回忆有关概念的内涵和要点;(ⅲ)用定义去指导解题活动.
③解题易错点是将M∩P误认为是直线与圆的交点个数问题,从而误选D.本题若改为
为常数,且a,b不同时为零},
,则M∩P中的元素个数应为0或1或2.
[例4]已知集合A={a,b,c,d},B={a2,b2,c2,d2},其中A?N*,B?N*,a<b<c<d,且A∩B={a,d},a+d=10.
(1)求a、d;
(2)若A∪B中所有元素的和为124,你能确定集合A、B中的所有元素吗?
[分析](1)根据交集的意义及其题设,求解出a,d.
(2)由A∩B中的元素个数为2,而A与B的元素个数均为4个可知:A∪B中共有6个元素,且其中有四个元素分别为1,3,9,81,而另两个元素分别为x与x2.一个未知数,还有一个和的条件,可以求解x,进而可求得集合A与B.
[解](1)因A∩B={a,d},且a<b<c<d,于是 a= a2,解得 a=1(a=0,不合,舍去),从而 d=9.
(2)A={1,b,c,9},B={1,b2,c2,81}.
因 A∩B={1,9},故 3∈A,9∈B.
于是可设A={1,3,9,x},B={1,9,81,x2},其中x<9.
依题设有 1+3+9+x+81+ x2=124, 解得 x=5(x= -6,不合,舍去).
故 A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}.
[点悟]①解题关键点是熟练掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互异性、无序性、确定性)进行解题.
②解题规律:对于递进型的综合问题,应采取各个“击破”,“分而治之”,直至“歼灭”的办法.
③解题易错点求集合的并运算,不是两个集合所有元素的简单迭加;另外容易忽视集合元素的互异性,即相同的元素在一个集合中只算一个元素.
[例5]在下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:
图1 (1)中,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
图1 (2)中,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
图1 (3)中,开关A闭合是灯泡B亮的
条件;
图1 (4)中,开关A闭合是灯泡B亮的
条件.
[分析]首先根据电路的串并联知识,分析开关A闭合是否有灯泡B亮,然后根据充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件的含义作答.
[解](1)开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件.
(2)仅当开关A、C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的必要而不充分条件.
(3)开关A不起任何作用,故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件.
(4)开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只须开关A或B闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的充分而不必要条件.
[点悟]①解题关键点是正确理解充分与必要条件的含义,读懂图形语言,并掌握一些物理学知识特别是简单的电学知识,进行电路图的正确分析.
②“学以致用”已不是什么口号.重视知识的综合,体现时代的特点,渗透素质教育的内含,是一种大势所趋.
③解题易错点是对条件的充分与必要性区分不清,不能正确地读懂电路图.