摘要:2.定义法 [例3]设集合M={直线}.P={圆}.则集合M∩P中的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.0或1或2 [分析]本题考查集合的交集与并集的运算.是一道概念性极强的试题.可使用定义法求解. [解]因集合M={直线}.P={圆}.集合M∩P中的元素既是直线且又是圆.显然这样的元素不存在.从而M∩P=.答案选A. [点悟]①解题关键点是正确理解集合的交集与并集的运算及M∩P的意义.集合的交集是由既属于集合A且又属于集合B的公共元素组成的集合.它强调的是“且 的关系,并集是由属于A或属于集合B之一的元素组成的集合.它强调的是“或 的关系. ②解题规律:定义法解题的一般步骤为:(ⅰ)分析和研究所给问题中已知的条件和待求的解题目标,(ⅱ)回忆有关概念的内涵和要点,(ⅲ)用定义去指导解题活动. ③解题易错点是将M∩P误认为是直线与圆的交点个数问题.从而误选D.本题若改为为常数.且a,b不同时为零}..则M∩P中的元素个数应为0或1或2. [例4]已知集合A={a.b.c.d}.B={a2.b2.c2.d2}.其中A?N*.B?N*.a<b<c<d.且A∩B={a,d}.a+d=10. (1)求a.d, (2)若A∪B中所有元素的和为124.你能确定集合A.B中的所有元素吗? [分析](1)根据交集的意义及其题设.求解出a.d. (2)由A∩B中的元素个数为2.而A与B的元素个数均为4个可知:A∪B中共有6个元素.且其中有四个元素分别为1.3.9.81.而另两个元素分别为x与x2.一个未知数.还有一个和的条件.可以求解x.进而可求得集合A与B. [解](1)因A∩B={a,d}.且a<b<c<d.于是 a= a2.解得 a=1(a=0.不合.舍去).从而 d=9. (2)A={1,b,c,9}.B={1,b2,c2,81}. 因 A∩B={1,9}.故 3∈A.9∈B. 于是可设A={1.3.9.x}.B={1.9.81.x2}.其中x<9. 依题设有 1+3+9+x+81+ x2=124. 解得 x=5(x= -6.不合.舍去). 故 A={1.3.5.9}.B={1.9.25.81}. [点悟]①解题关键点是熟练掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互异性.无序性.确定性)进行解题. ②解题规律:对于递进型的综合问题.应采取各个“击破 .“分而治之 .直至“歼灭 的办法. ③解题易错点求集合的并运算.不是两个集合所有元素的简单迭加,另外容易忽视集合元素的互异性.即相同的元素在一个集合中只算一个元素. [例5]在下列电路图中.闭合开关A是灯泡B亮的什么条件: 图1 (1)中.开关A闭合是灯泡B亮的 条件, 图1 (2)中.开关A闭合是灯泡B亮的 条件, 图1 (3)中.开关A闭合是灯泡B亮的 条件, 图1 (4)中.开关A闭合是灯泡B亮的 条件. [分析]首先根据电路的串并联知识.分析开关A闭合是否有灯泡B亮.然后根据充分而不必要条件.必要而不充分条件.充要条件的含义作答. [解](1)开关A闭合.灯泡B亮,反之.灯泡B亮.开关A闭合.于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件. (2)仅当开关A.C都闭合时.灯泡B才亮,反之.灯泡B亮.开关A必须闭合.故开关A闭合是灯泡B亮的必要而不充分条件. (3)开关A不起任何作用.故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件. (4)开关A闭合.灯泡B亮,但灯泡B亮.只须开关A或B闭合.故开关A闭合是灯泡B亮的充分而不必要条件. [点悟]①解题关键点是正确理解充分与必要条件的含义.读懂图形语言.并掌握一些物理学知识特别是简单的电学知识.进行电路图的正确分析. ②“学以致用 已不是什么口号.重视知识的综合.体现时代的特点.渗透素质教育的内含.是一种大势所趋. ③解题易错点是对条件的充分与必要性区分不清.不能正确地读懂电路图.

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设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().

(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点的坐标,从而使得

(2)当时,若

求证:

(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:

“若,则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);

② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

解:(1)抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为,所以

故可取满足条件.

(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

所以.

(3) ①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

.

是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设,分别过

抛物线的准线的垂线,垂足分别为

及抛物线的定义得

,即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则

,所以.

(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)

③ 补充条件1:“点的纵坐标)满足 ”,即:

“当时,若,且点的纵坐标)满足,则”.此命题为真.事实上,设

分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由

及抛物线的定义得,即,则

又由,所以,故命题为真.

补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:

“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)

 

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