6.求分别满足下列条件的直线l的方程：

(1)直线l过点A(1，-2)，且点B(2，1)到l的距离等于1；

(2)过点M(-1，2)作直线l，使点A(-3，4)和B(1，-2)到l的距离相等；

(3)直线l过点P(-3，4)，且在两坐标轴上的截距相等.

5.已知直线ax+3y+1=0与直线x+(a-2)y+a=0，当a=_________时，两直线平行；当a＝_________时，两直线重合；当a∈_________时，两直线相交.

4.已知两点A(cos70°，cos20°)、B(sin80°，sin10°)，则直线AB的倾斜角是_________.

3.点M(1，3)，N(5，-2)，点P在x轴上，使|PM|－|PN|取最大值的点P的坐标为

A.(4，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(13，0)

C.(5，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(1，0)

2.如果AC＜0,且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过

A.第一象限　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.第二象限　　　　　　　　　

C.第三象限　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.第四象限

1.下列命题中是真命题的是

A.经过定点P₀(x₀，y₀)的直线都可以用方程y－y₀＝k(x－x₀)表示

B.经过任意两个不同的点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)的直线都可以用方程(y－y₁)(x₂－x₁)＝(x－x₁)(y₂－y₁)表示

C.不经过原点的直线都可以用方程＝1表示

D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示

(三)解答题

20.正方形中心为G(-1，0)，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求这正方 形各边所在直线的方程.

21.已知在△ABC的边上运动的点D、E、F在t=0时分别从A、B、C出发，各以一定的速度向B、 C、A前进，在t=1时分别达到B、C、A，试证明在运动过程中，△DEF的重心是一个定点.

22.一条光线从点M(5，3)射出，被直线l∶x+y=1反射，入射光线到直线l的角为β，已知tgβ=2，求入射光线与反射光线所在直线的方程.

23.用解析法证明三角形内角平分线性质定理.

24.已知点P(6，8)，过P点作直线PA⊥PB分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点。

①求线段AB的中点的轨迹。

②若△AOB面积等于△APB面积，求此时直线PA与直线PB的方程。

25.已知动点P(x,y)在以A(π，0)、B(-，-)为两端点的线段上移动，且sinx+sin2y=0。求点P的坐标。

(二)填空题

16.两条平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-8=0间的距离是　　　　　　　　　 .

17.如果直线l₁、l₂的斜率分别是二次方程x²-4x+1＝0的两根，那么l₁与l₂所成 角的大小是　　　　　　　　　　 .

18.直线y=-x+b和5x+3y-31=0的交点在第一象限，那么b的范围是　　　　　　 .

19.已知点P是直线l上一点，将直线l绕点P沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°，所得直 线的方程是x-y-2=0，若将它继续为转90°-α，所得直线的方程2x+y-1=0，则直线l的方程为　　　　　　 .

(一)选择题

1.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，当且仅当(　　 )

A.A·B＞0，A·C＞0 　　　　　B.A·B＞0，A·C＜0

C.A·B＜0，A·C＞0　　　　　 D.A·B＜0，A·C＜0

2.已知点M(3，4)，N(12，7)，P在直线MN上，且，则点P的坐标是(　　 )

A.(6，5)　　　　　　　 B.(9，6)

C.(0，3)　　　　　　　 D.(0，3)或(6，5)

3.已知点A(3，3)，B(-1，5)，直线y=ax+1与线段AB有公共点，则实数a应满足的条件是(　　 )

A.a∈［-4，］　　　　　 　　　　　　　B.a≠-

C.a∈［-4，］∪(-，)　　　　　 D.a∈(-∞，-4)∪(，+∞］

4.方程│x-1│+y=1确定的曲线与x轴围成的图形的面积是(　　 )

A. 　　　B.1　　　 C.2　　　 D.4

5.过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　 )

A.x+y=5　　　　　　　　 　　B.3x-2y=0

C.x+y=5或3x-2y=0　　　　　 D.4x-y=5

6.直线l过点P(3，2)，与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，当△AOB面积为最 小值时，直线l的方程是(　　 )

A.x-y-1=0　　　　　　　　　 B.x+y-5=0

C.2x+3y-12=0　　　　　　　 D.3x+2y-13=0

7.如果直线Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角，且在y轴上的截距大于零，则(　　 )

A.AB＞0，AC＞0　　　　 　　B.AB＞0，AC＜0

C.AB＜0，AC＞0　　　　 　　D.AB＜0，AC＜0

8.下列各点中，不与P(4，3)、Q(-1，6)两点共线的点是(　　 )

A.(5，6)　　　　　 　　　　B.(2，-3)

C.(3t，t+3)(这里t∈Z)　 　　D.(t+3，3t)(这里t∈Z)

9.两条不重合的直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要条件是(　　 )

A.m=1，n=1　　　　　　　　 B.m=-1，n=-1

C.m=1,n≠-1,或m=-1,n≠1　 D.m≠±1，n≠±1

10.与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线是(　　 )

A.3x-2y+2=0　　　　　 B.2x+3y+1=0

C.3x-2y-12=0　　　　 D.2x+3y+8=0

11.已知0≤θ≤，且点(1，cosθ) 到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于 ，则θ等于(　　 )

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

12.已知直线l₁∶x-2y-6=0，l₂∶3x-y+4=0下列说法中错误的是(　　 )

A.l₁与l₂的夹角是45°　 　　　　B.l₁到l₂的角是45°

C.l₂到l₁的夹角是45°　　　　　 D.l₂到l₁的角是135 °

13.若a²+b²=c²，则直线ax+by+c=0被圆x²+y²=2所截的弦长等于(　　 )

A.1　　　　 B.2　　　　 C.　　　　 D.2

14.△ABC中，B(-a,0)、C(a,0)，且两底角的正切的乘积为定值k(k＞0)，则顶点A的轨迹方 程是(　　 )

A.kx²+y²=ka²(y≠0)　　　　　 B.kx²-y²=ka²(y≠0)　　

C.x²+ky²=ka²(y≠0)　　　　　 D.x²-ky²=ka²(y≠0)

15.设点A(-1，2)，B(2，-2)，C(0，3)，且M(a，b)是线段AB上的一点(a≠0)，则直线MC的 斜率的取值范围是(　　 )

A.［-，1］　　　　　　 B.［-1， ］

C.［-，0］∪(0，1)　　　 D.(-∞ ，-)∪(1，+∞)

(四)综合例题赏析

例4设点P在有向线段AB的延长线上，P分AB所在的比为λ，则　 (　　 )

A.λ＜-1　　　　　　 B.-1＜λ＜0

C.0＜λ＜1　　　　　 D.λ＞1

解　 由已知有λ＝因为与的方向相反，且｜｜＞｜｜，

所以λ＝?｜｜＜-1，

应选A。

例5　 和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是(　　 )

A.3x+4y-5=0 　　　　　B.3x+4y+5=0

C.-3x+4y-5=0　　　　　 D.-3x+4y+5=0

解：　 若曲线c的方程f(x,y)=0，曲线c和c′关于x轴对称，则曲线c′的方程是f(x，-y)=0.

∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.

应选B.

例6　 如图，设图中直线l₁，l₂，l₃的斜率分 别为k₁，k₂，k₃，则(　　 )

A.k₁＜k₂＜k₃　　　　　 B.k₃＜k₁＜k₂

C.k₃＜k₂＜k₁　　　　　 D.k₁＜k₁＜k₂

解　 显然k₁＜0，0＜k₃＜k₂

于是应选D.

例7　 如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么(　　 )

A.a=,b=6　　　　　 B.a=,b=-6　　　 　　C.a=3,b=-2　　　　　 D.a=3,b=6

解　 C₁的方程是f(x,y)=0,C₂和C₁关于直线y=x对称，则C₂的方程是f(y,x)=0.

于是直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2,即y=.

由题设y=和y=3x-b是同一条直线，

所以，解得

从而应选A.

例8　 通过点(0，2)且倾斜角为15°的直线方程是(　　 )

A.y=(-2)x+2　　　　　 B.y=(-1)x+2

C.y=(2-)x+2　　　　　 D.y=(-1) x+2

解：　 ∵直线通过点(0，2).

∴直线在y轴上的截距b=2.

∵直线的倾角为15°，

∴直线的斜率k=tg15°=.

把k=2-，b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-)x+2 .

应选C.

例9　 直线3x-2y=6在y轴上的截距是(　　 )

A.　　 B.-2　　 C. -3　　 D.3

解：　 ∵3x-2y=6y=-+=1，

又直线的截距为=1，

∴b=-3，即在y轴上的截距为-3.

应选C.

例10　 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么 系数a=(　　 )

A.-3　　 B.-6　　 C.-　　 D.

解：l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，且A₂≠0，B₂≠0，C₂≠ 0，则有

l₁∥l₂

∴由题设有=a=- 6.

应选B.

例11　 两条直线A₁x+B₁y+C₁=0,A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件是 (　　 )

A.A₁A₂+B₁B₂＝0　　　　　 B.A₁A₂-B₁B₂＝0

C.＝-1　　　　　 D.

解　 若B₁B₂＝0，不妨设B₁＝0，则直线l₁∶A₁x+C₁=0，l₁是垂直与x轴的直 线，由于l₁⊥l₂，所以l₂是垂直y轴的直线，从而l₂∶B₂y+C₂=0，即A₂=0

故　 A₁A₂+B₁B₂＝0

若B₁B₂≠0，则l₁和l₂的方程可化为y=-,y=-,得k₁＝-，k₂＝-,

由l₁⊥l₂k₁·k₂=-1·＝-1A₁A₂+B₁B₂＝0.

综上有若l₁⊥l₂，则A₁A₂+B₁B₂＝0

反之，若A₁A₂+B₁B₂＝0

1°A₁A₂≠0B₁B₂≠0A₁A₂＝-B₁B₂＝-·

＝-1()·()＝-1，

即k₁·k₂＝-1

所以l₁⊥l₂.

2°若A₁·A₂＝0，不妨设A₁＝0，且A₂≠0，则B₁≠0且B₁·B₂＝0B₂＝0 ，

所以l₁∶B₁y+C₁=0,是垂直y轴的直线；

　　 l₂∶A₂x+C₂=0,是垂直x轴的直线；

于是l₁⊥l₂

又若A₁＝0且A₂＝0则l₁∶B₁y+C₁=0,l₂∶B₂y+C₂=0,则l₁∥l₂，此与

l₁⊥l₂矛盾.

综上有　 若A₁A₂+B₁B₂＝0，则l₁⊥l₂

综合(1)、(2)知，l₁⊥l₂A₁A₂＝B₁B₂＝0

故应选A.

例12　 如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a 的值等于(　　 )

A.1　　 B.-　　 C. -　　 D.-2

解：两直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，互相垂直的充要条件是 ：

A₁A₂+B₁B₂=0

∴由题设得a·1+2·1=0，从而a=-2.

应选D.

例13　 点P(2，5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是(　　 )

A.(5，2)　　　　　　 B.(2，-5)

C.(-5，-2)　　 　　　D.(-2，-5)

解：设P(2，5)和Q(m，n)关于直线y=-x对称，则PQ中点R(，)在y=-x上，且K_PQ·(-1)=-1.

∴，解得

∴对称点Q的坐标是(-5，-2).

应选C.

例14　 原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是(　　 )

A.(2，) 　　　　　　B.(，)

C.(3，4)　　　　 　　D.(4，3)

解：设(m，n)为所求，则

解得m=4，n=3

∴应选D.

例15　 在直角坐标中，△ABC的三个顶点是：A(0，3)，B(3，3)，C(2 ，0)，若直线x=a，将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是(　　 )

A.　 　　B.1+　　　 C.1+　　　 D.2-

解　 如图

易知直线AC的方程是y=3，直线AC的方程是＝1，即3x+ 2y=6.

设直线x=a与AB交于D，与AC交于E，则D，E的坐标分别为D(a,3),E(a,)

从而｜DE｜=3-=a

S_△ADE＝AD·DE＝a·a=a²　　　　　 (1)

又S_△ABC＝·3·＝，

S_△ADE＝·S_△ACB＝，　　 　　　　　　　　(2)

由(1)，(2)有a²＝，解得a=

应选A.

例16　 以A(1，3)、B(-5，1)为端点的线段垂直平分线的方程是(　　 )

A.3x-y+8=0　　　　　 B.3x+y+4=0

C.2x+y+2=0　　　　　 D.3x+y+8=0

解：设P(x，y)为线段AB的中垂线上的点，

则│PA│=│PB│

即，化简得3x+y+4= 0.

应选B.

例17　 在直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)的直线1与直线OP的夹角为45°， 求1的方程.

解：设1的斜率为k，k_OP=-，

∴tg45°=││=││=││，

得=±1，解出k=-，7

∴1的方程为y-4=-(x+3)或y-4=7(x+3).

即1的方程为x+7y-25=0或7x-y+25=0.

例18　 点(0，1)到直线x+y=2的距离是　　　　　　 .

解：d=

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