2.如图,正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求二面角D-AB-C的大小;
答案与提示:(2)arctan
3
空间角
例1、如图1,设ABC-A
B
C
是直三棱柱,F是A
B
的中点,且

(1)求证:AF⊥A
C; (2)求二面角C-AF-B的大小.
解:(1)如图2,设E是AB的中点,连接CE,EA
.由ABC-A
B
C
是直三棱柱,知AA
⊥平面ABC,而CE平面ABC,所以CE⊥AA
,
∵AB=2AA
=2a,∴AA
=a,AA
⊥AE,知AA
FE是正方形,从而AF⊥A
E.而A
E是A
C在平面AA
FE上的射影,故AF⊥A
C;
(2)设G是AB
与A1E的中点,连接CG.因为CE⊥平面AA
B
B,AF⊥A
E,由三垂线定理,CG⊥AF,所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角.∵AA
FE是正方形,AA
=a,
∴
,
∴
,
∴tan∠CGE=
,∠CGE=
,从而二面角C-AF-B的大小为
。
例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a、b之间,AB与a成45o角,与b成
角,过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD,求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小.
以CD为轴,将平
以AB为轴,将平
面BCD旋转至与
面ABD旋转至与
平面ACD共面
平面ABC共面
图 1
图 2
图 3
解法1、过D点作DE⊥AB于E,过E作EF⊥AB交BC于F(图1),连结DF,则∠DEF即为二面角D-AB-C的平面角.
为计算△DEF各边的长,我们不妨画出两个有关的移出图.在图2中,可计算得DE=1,EF=
,BF=
=
.在移出图3中,
∵ cosB=
=
,
在△BDF中,由余弦定理:
DF 2=BD 2+BF 2-2BD ﹒ BF ﹒
cosB
=(
)2+(
)2 -2
﹒
﹒
=
.
(注:其实,由于AB⊥DE,AB⊥EF,∴ AB⊥平面DEF,∴ AB⊥DF.
又∵ AC⊥平面b, ∴ AC⊥DF. ∴ DF⊥平面ABC, ∴ DF⊥BC,即DF是Rt△BDC斜边BC上的高,于是由BC ﹒ DF=CD ﹒BD可直接求得DF的长.)
在△DEF中,由余弦定理:
cos∠DEF=
=
=
.
∴ ∠DEF=arccos
.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小.
解法2、过D点作DE⊥AB于E,过C作CH⊥AB于H,则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段,CD即二异面直线上两点C、D间的距离.运用异面直线上两点间的距离公式,得:
CD 2=DE 2+CH 2+EH 2-2DE CH cosq
(*)
(注:这里的q是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小,当0<q o≤90o,q 亦即异面直线CH与DE所成的角;当90o<q <180o,异面直线所成的角为180o-q .)
∵ CD=DE=1,CH=
,HE=
,
从而算得 cosq=
, ∴ q=arccos
.
例3、如图1,直三棱柱ABC-A
B
C
的各
条棱长都相等,
D为棱BC上的一点,在截面ADC
中,若∠ADC
=
,
求二面角D-AC1-C的大小.
解:由已知,直三棱柱的侧面均为正方形,
图 7
∵ ∠ADC1=90o,即AD⊥C1D.又CC1⊥平面ABC,
∴ AD⊥CC1. ∴ AD⊥侧面BC1,∴ AD⊥BC,
图1
∴ D为BC的中点.
过C作CE⊥C1D于E,∵ 平面ADC1⊥侧面BC1,
∴ CE⊥平面ADC1.取AC1的中点F,连结CF,则CF⊥AC1.
连结EF,则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC是二面角D-AC1-C的平面角.
在Rt△EFC中,sin∠EFC=
. ∵ BC=CC1=a
易求得 CE=
,CF=
.
∴ sin∠EFC=
, ∴ ∠EFC=arcsin
.
∴ 二面角D-AC1-C的大小为arcsin
.
例4、(2004年北京春季高考题)如图,
四棱锥
的底面是边长为1的正方形,
图(1)
SD垂直于底面ABCD,SB=√3。
(I)求证
;
(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(III)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小。
(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。
分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
(I)证明:如图1
∵底面ABCD是正方形 
SD⊥底面ABCD
DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
(II)解:SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形
可以把四棱锥
补形为长方体
,如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面
与面
所成的二面角,
又
为所求二面角的平面角
在
中,由勾股定理得
在
中,由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为

图2
图3
(III)解:如图3 
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点
面ASD,SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得
异面直线DM与SB所成的角为
(Ⅳ) 45°
练习:1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=
∠DBC=120º.求:
(1).直线AD与平面BCD所成角的大小.
(2).异面直线AD与BC所成的角.
(3) .二面角A-BD-C的大小.
答案:(1)45°(2)90°(3)180°-arctan2