4．抛物线　 y＝(x－5)²十4的对称轴是(　　　 )

3．函数中，自变量x的取值范围是(　　　 )

2．当时，求代数式 　的值是　　　　　　　　　　 。

1．用配方法将二次三项式变形的结果是　　　　　　　　　　　 。

例7(2003山东济南)检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米，如图7(1)．现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图7(2)．由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM’的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为O．8米，请计算出镜长至少为多少米?

图7

分析：相似形在实践中，尤其在测量等方面，有着广泛的应用。本题即为一例。

作CD⊥MM’，垂足为D，延长CD交A'B'于点E.

∵AB′∥MM’//A’B’，∴CE⊥A’B’，△CMM’∽△CAB’，

∴.

∵CD = 5 – 3 =2 ,　 CE = 5 ,　 A’B’= AB = 0.8,

∴.

∴MM’=0.32(米).

∴镜长至少为0.32米.

例5(江苏连云港)如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

①当时，有；

②当时，有；

③当时，有．

当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明。

图5

分析：类比条件中的等式，可以猜想得：EF =．

证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，∴∽，∴，

又∥∥，∴，

∴，，

∴，可得．

例3(2004江苏淮安)已知：如图3，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，请你写出图中的一对相似三角形：△______∽△_________．(只使用图中已有字母，不再添加辅助线)

图3

分析：本题有多种答案。注意到AD//CF，则△EDA∽△ECF；注意到CE//BA，则△ABF∽△ECF；利用相似形之间的“传递性”，有△ABF∽△EDA。

例4(2004四川资阳)如图4①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃ .

(1) 如图4②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图4③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，为使S₁、S₂、S₃之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

图4

分析：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c²=a²+b² .

(1) S₁=S₂+S₃ .

(2) S₁=S₂+S₃ . 证明如下：

∵ 所作三个正方形相似，∴

.

　(3) 当所作的三个三角形相似时，S₁=S₂+S₃ . 证明如下：

∵ 所作三个三角形相似， ∴

.

(4)由于半圆、正方形、等边三角形都是相似图形，所以类比(1)、(2)、(3)的结论，可得：

分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则S₁＝S₂+S₃ .

例1(2004陕西)如图1，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a,b间的关系一定满足(　 D　 )

图1

A．　 a≥b；　 B．a≥b；　 C. a≥b；　 D．a≥2b.

分析：由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P的位置有两个，它们关于BC的垂直平分线对称；如果存在一点P，则该点必为BC的中点，此时△ABP≌△DCP，则AP=DP，△APD为等腰直角三角形。要使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则它们都是等腰直角三角形。

此时，，即a=2b。

当点P的位置有两个时，a>2b。

总之，a≥2b。故选D.

例2(2004浙江宁波)如图2，已知点是边长为4的正方形内一点，且，，垂足是．请在射线上找一点，使以点、、为顶点的三角形与相似(请注意：全等图形是相似图形的特例) ．

图2

分析：由于对应点没有确定，所以需分类讨论。

(1)若△MBC∽，则需在射线上截取线段，连结，

　，

　，

∴-．　

(2)若△CBM∽，则需在射线上截取线段，连结，

　．(全等必相似)

∴在射线上取或时，，都为符合条件的．

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