摘要：例3已知:如图3.在□ABCD中.点E为边CD上的一点.AE的延长线交BC的延长线于点F.请你写出图中的一对相似三角形:△ ∽△ ．(只使用图中已有字母.不再添加辅助线) 图3 分析:本题有多种答案.注意到AD//CF.则△EDA∽△ECF,注意到CE//BA.则△ABF∽△ECF,利用相似形之间的“传递性 .有△ABF∽△EDA. 例4如图4①.分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆.其面积分别用S1.S2.S3表示.则不难证明S1=S2+S3 . (1) 如图4②.分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形.其面积分别用S1.S2.S3表示.那么S1.S2.S3之间有什么关系? (2) 如图4③.分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形.其面积分别用S1.S2.S3表示.请你确定S1.S2.S3之间的关系并加以证明, (3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形.其面积分别用S1.S2.S3表示.为使S1.S2.S3之间仍具有与(2)相同的关系.所作三角形应满足什么条件?证明你的结论, 的结论.请你总结出一个更具一般意义的结论 . 图4 分析:设直角三角形ABC的三边BC.CA.AB的长分别为a.b.c.则c2=a2+b2 . (1) S1=S2+S3 . (2) S1=S2+S3 . 证明如下: ∵ 所作三个正方形相似.∴ . (3) 当所作的三个三角形相似时.S1=S2+S3 . 证明如下: ∵ 所作三个三角形相似. ∴ . (4)由于半圆.正方形.等边三角形都是相似图形.所以类比的结论.可得: 分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形.其面积分别用S1.S2.S3表示.则S1＝S2+S3 .
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（2013•长清区一模）（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边 AB、AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9，BD=10．求sinA的值．
（2）如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
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（2）如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
（1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形；
（2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形．
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（2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形．
已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．（1）求证：BG=CF．
（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
请在（1）和（2）两道题中自选一道题解答．
（1）如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求证：△ABC为等腰三角形．
（2）已知：如图2，在△ABC中，∠B=∠ACB=
∠BAC，CD是AB边上的高，CD=5．求BC边上的长．
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（1）如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求证：△ABC为等腰三角形．
（2）已知：如图2，在△ABC中，∠B=∠ACB=
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（2013•徐汇区一模）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究．得出结论：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a2-b2=bc．下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．
求证：a2-b2=bc．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD=AB．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°
∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
∴
| BC |
| CD |
| AC |
| BC |
| a |
| b+c |
| b |
| a |
∴a2-b2=bc
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B．
求证：a2-b2=bc．