64. (1)正截面为正方形的长方体均质木料放在水中，若其长边始终平行于水面，试讨论：木料浮在水上(即部分在水面下方，部分在水面上方)平衡的条件？

(2)密度为的液体中浮有一立方体形均质木块，该木块的边长为2a，密度为／2。若木块在平衡位置附近绕木块中心轴作一微小偏转，试讨论木块将如何运动，忽略水和空气的阻力。

答案：略

63. 质量m长b的均匀细棒用一根不可伸长的绳拴在弹力常数为k的弹簧上。绳绕过一固定于P点的光滑小滑轮，棒可无摩擦地绕A自由转动，如图，，当C=0时，弹簧为自然长度。假定b<a，重力作用铅直向下，求系统处于静态平衡时的值，在各种情况下讨论平衡是稳定平衡，不稳定平衡，还是随遇平衡(注意：PA线与g平行)。

答案：(1)ka=1/2mg，随遇平衡

(2)ka<1/2mg为稳定平衡，为不稳定平衡

(3)ka>1/2mg为不稳定平衡，为稳定平衡

62. 一边长为a的均质立方体，放在一半径为R的球面上如图，R应满足什么条件才能使其成为平衡？

答案：R>a/2

61. 如图所示，杯中盛有密度均匀的混合液体，其密度为，经过一段时间后变为密度为和的两层均匀液体。设其总体积不变，则杯内底面所受的液体的压力是否有变化?若有变，化如何变化？试证明你的结论。

答案：压力增加

60. 有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球(布的质量可忽略不计)，直径为d=2.0公尺，球内充有压力P_o=1.005×10⁵帕的气体，该布料所能承受的最大不被撕破力为8.5×10³牛顿/公尺(即对于一块展平的一公尺宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×10³牛顿时，布料将被撕破)，开始时，气球被置于地面上，该处的大气压力为P_ao=1.000×10⁵帕，温度T_o=293K，假设空气的压力和温度均随高度而线性地变化，压力变化为_p=－9.0帕/公尺，温度的变化为_T=－3.0×10^-3k/m，问该气球上升到多高度时将破裂？假设气球上升很缓慢，可认为气球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压力的差别。

答案：H>2.1×10³m

59. 石头材质的水库底上有一棱长为a=2公尺的立方体，其材料密度是水密度的7倍。想用一装置把立方体从水库底提上来，该装置采用吸盘原理如图所示，即把一边长为a的正方形吸盘紧扣在立方体的上表面，抽走吸盘内的空气直至压力P=0。能不能借这个装置把立方体拉到水面?如果不能，在什么水深立方体脱离吸盘？已知大气压力P_o=10⁵帕；g=10公尺／秒²。

答案：H＜2公尺

5、对系统应用动量定理。

系统的动量定理就是系统所受合外力的冲量等于系统总动量的变化。若将系统受到的每一个外力、系统内每一个物体的速度均沿正交坐标系x轴和y轴分解，则系统的动量定理的数学表达式如下：

，

对于不需求解系统内部各物体间相互作用力的问题，采用系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。

例10、如图3所示， 质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为V₀时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

分析与解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为V₀/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

注意：这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。

例11、如图4所示，矩形盒B的质量为M，放在水平面上，盒内有一质量为m的物体A，A与B、B与地面间的动摩擦因数分别μ₁、μ₂，开始时二者均静止。现瞬间使物体A获取一向右且与矩形盒B左、右侧壁垂直的水平速度V₀，以后物体A在盒B的左右壁碰撞时，B始终向右运动。当A与B最后一次碰撞后，B停止运动，A则继续向右滑行距离S后也停止运动，求盒B运动的时间t。

分析与解：以物体A、盒B组成的系统为研究对象，它们在水平方向所受的外力就是地面盒B的滑动摩擦力，而A与B间的摩擦力、A与B碰撞时的相互作用力均是内力。设B停止运动时A的速度为V，且假设向右为正方向，由系统的动量定理得：

当B停止运动后，对A应用动能定理得：

由以上二式联立解得：。

问题4：能根据动量守恒条件判定系统的动量是否守恒？

例12、如图5所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中：

A、动量守恒、机械能守恒

B、动量不守恒、机械能不守恒

C、动量守恒、机械能不守恒

D、动量不守恒、机械能守恒

分析与解：若以子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒．而在子弹射入木块时，存在剧烈摩擦作用，有一部分能量将转化为内能，机械能也不守恒．实际上，在子弹射入木块这一瞬间过程，取子弹与木块为系统则可认为动量守恒(此瞬间弹簧尚未形变)．子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中，机械能守恒，但动量不守恒．物理规律总是在一定条件得出的，因此在分析问题时，不但要弄清取谁作研究对象，还要弄清过程的阶段的选取，判断各阶段满足物理规律的条件．

例13、质量为M的小车中挂有一个单摆，摆球的质量为M₀，小车和单摆以恒定的速度V₀沿水平地面运动，与位于正对面的质量为M₁的静止木块发生碰撞，碰撞时间极短，在此过程中，下列哪些说法是可能发生的(　 )

A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别为V₁、V₂和V₃，且满足：

(M+M₀)V₀=MV₁+M₁V₂+M₀V₃；

B．摆球的速度不变，小车和木块的速度为V₁、V₂，且满足：MV₀=MV₁+M₁V₂；

C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都为V，且满足：MV₀=(M+M₁)V；

D．小车和摆球的速度都变为V₁，木块的速度变为V₂，且满足：

(M+M₀)V₀=(M+M₀)V₁+M₁V₂

分析与解：小车与木块相碰，随之发生的将有两个过程：其一是，小车与木块相碰，作用时间极短，过程结束时小车与木块速度发生了变化，而小球的速度未变；其二是，摆球将要相对于车向右摆动，又导致小车与木块速度的改变。但是题目中已明确指出只需讨论碰撞的极短过程，不需考虑第二过程。因此，我们只需分析B、C两项。其实，小车与木块相碰后，将可能会出现两种情况，即碰撞后小车与木块合二为一或它们碰后又分开，前者正是C项所描述的，后者正是B项所描述的，所以B、C两项正确。

问题5：能根据动量守恒定律求解“合二为一”和“一分为二”问题。

“合二为一”问题：两个速度不同的物体，经过相互作用，最后达到共同速度。

“一分为二”问题：两个物体以共同的初速度运动，由于相互作用而分开各自以不同的速度运动。

例14、甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6m/s.甲车上有质量为m=1kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M₁=50kg，乙和他的车总质量为M₂=30kg。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞，试求此时：

(1)两车的速度各为多少？

(2)甲总共抛出了多少个小球？

分析与解：甲、乙两小孩依在抛球的时候是“一分为二”的过程，接球的过程是“合二为一”的过程。

(1)甲、乙两小孩及两车组成的系统总动量沿甲车的运动方向，甲不断抛球、乙接球后，当甲和小车与乙和小车具有共同速度时，可保证刚好不撞。设共同速度为V，则:

　　　　 　 M₁V₁－M₂V₁=(M₁+M₂)V　　

　　　　 (2)这一过程中乙小孩及时的动量变化为:△P=30×6－30×(－1.5)=225(kg·m/s)

每一个小球被乙接收后，到最终的动量弯化为　 △P₁=16.5×1－1.5×1=15(kg·m/s)

故小球个数为

例15、人和冰车的总质量为M，另有一个质量为m的坚固木箱，开始时人坐在冰车上静止在光滑水平冰面上，某一时刻人将原来静止在冰面上的木箱以速度V推向前方弹性挡板，木箱与档板碰撞后又反向弹回，设木箱与挡板碰撞过程中没有机械能的损失，人接到木箱后又以速度V推向挡板，如此反复多次，试求人推多少次木箱后将不可能再接到木箱？(已知)

解析:人每次推木箱都可看作“一分为二”的过程，人每次接箱都可以看作是“合二为一”的过程，所以本题为多个“一分为二”和“合二为一”过程的组合过程。

设人第一次推出后自身速度为V_1，　 则：MV₁=mV，

人接后第二次推出，自身速度为V₂，则mV+2mV=MV₂

　(因为人每完成接后推一次循环动作，自身动量可看成增加2mV)

设人接后第n次推出，自身速度为V_n，则mV+2mV(n-1)=MV_n

∴V_n=(2n-1)V ，

若V_n≥V，则人第n次推出后，不能再接回，将有关数据代入上式得n≥8.25，∴n=9。

问题6：会用动量守恒定律解“人船模型”问题

两个物体均处于静止，当两个物体存在相互作用而不受外力作用时，系统动量守恒。这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止。

例16、载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

分析与解：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒。人着地时，绳梯至少应触及地面，若设绳梯长为L，人沿绳梯滑至地面的时间为t，由动量守恒定律有：,解得。

例17、如图7所示，质量为M的车静止在光滑水平面上，车右侧内壁固定有发射装置。车左侧内壁固定有沙袋。发射器口到沙袋的距离为d，把质量为m的弹丸最终射入沙袋中，这一过程中车移动的距离是_______。

分析与解：本题可把子弹看作“人”，把车看作“船”，这样就可以用“人船模型”来求解.

,解得。

例18、质量为M、长为L的船静止在静水中，船头及船尾各站着质量分别为m₁及m₂的人，当两人互换位置后，船的位移有多大？

分析与解：利用“人船模型”易求得船的位移大小为：.提示：若m₁>m₂,本题可把(m₁-m₂)等效为一个人，把(M+2m₂)看着船，再利用人船模型进行分析求解较简便。

4、求解流体问题

　　 例9 、某种气体分子束由质量m=5.4X10^-26kg速度V＝460m/s的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n₀＝1.5X10²⁰个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强．

分析与解：设在△t时间内射到 S的某平面上的气体的质量为ΔM，则：

取ΔM为研究对象，受到的合外力等于平面作用到气体上的压力F以V方向规定为正方向，由动量定理得:-F.Δt=ΔMV-(-ΔM.V),解得

平面受到的压强P为：

注意：处理有关流体(如水、空气、高压燃气等)撞击物体表面产生冲力(或压强)的问题，可以说非动量定理莫属．解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间△t内射到物体表面上的流体为研究对象

3、求解曲线运动问题　　　　　　

　　 　例8、 如图 2所示，以V_o ＝10m／s²的初速度、与水平方向成30⁰角抛出一个质量m＝2kg的小球．忽略空气阻力的作用，g取10m／s²．求抛出后第2s末小球速度的大小．

分析与解：小球在运动过程中只受到重力的作用，在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀变速运动，竖直方向应用动量定理得： 　F_yt=mV_y-mV_y0

　所以mgt=mV_y-(-mV₀.sin30⁰),

解得V_y=gt-V₀.sin30⁰=15m/s.

而V_x=V₀.cos30⁰=

　 在第2s未小球的速度大小为：

注意： 动量定理不仅适用于物体做直线运动的问题，而且也适用物体做曲线运动的问题，在求解曲线运动问题中，一般以动量定理的分量形式建立方程，即：

　F_xt=mV_x-mV_x0　　 F_yt=mV_y-mV_y0

2.求解平均力问题

　　 例7 、质量是60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已知弹性安全带缓冲时间为1.2s，安全带伸直后长5m，求安全带所受的平均冲量．( g= 10m／s²)

　 分析与解：人下落为自由落体运动，下落到底端时的速度为：

取人为研究对象，在人和安全带相互作用的过程中，人受到重力mg和安全带给的冲力 F，取F方向为正方向，由动量定理得： Ft=mV-mV₀

所以，(方向竖直向下)

注意： 动量定理既适用于恒力作用下的问题，也适用于变力作用下的问题．如果是在变力作用下的问题，由动量定理求出的力是在t时间内的平均值．