1. m和n都是正整数，a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的数，只要有ai +aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某个k使ai +aj=ak，
求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。
2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点，E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。
求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF。
3. 对任何正整数k，定义f(k)为集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数，
求证对于每个正整数m，存在至少一个k使f(k)=m；并求出使得恰有一个k的所有m值。
4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数。
5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-1<x<0和0<x，f(x)/x使严格递增的。
6. 试证明存在满足下列性质的正整数集合A：对任何由素数构成的无限集S，都有k≥2以及两个正整数m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k个不同元素的乘积。
1. 设f(x)=xn+5xn-1+3，其中n>1是一个整数。
求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积。
2. 设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB+90o，AC?BD=AD?BC，
3.
在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的摆放着n2个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而
跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。
试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。
4. 对平面上的三个点P,Q,R，定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P,Q,R共线当然有 m(PQR)=0)。
求证对任何点A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。
5.
问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n对所有n，并且
f(n<f(n+1))？
6. 有n>1盏灯L0,L1，...,Ln-1绕成一圈，为方便Ln+k也表示Lk。 一盏灯只有开或关两个状态，初始时刻它们全是开着的，依次执行步骤s0,s1,...,：在步骤si， 如果Li-1点燃，就关掉Li，否则什么都不做。试证明：
1. 试找出所有的整数a,b,c满足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。
2. 找出所有定义在实数上并且取值也是实数的函数f使得对所有x,y都有
f(x2+f(y))=y+f(x)2。
3. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。
4. L是圆Γ的一条切线，M是L上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q,R，△PQR的内切圆是Γ。
5. 设S是三维空间中的一个有限点集， 集合Sx,Sy,Sz分别是S在平面yz,zx,xy上的投影，
求证：|S|2<=|Sx|?|Sy|?|Sz|。
其中|A|表示集合A的元素个数。
[注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。]
6. 对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k<= S(n)，n2都可写成k个完全平方数的和。
1. 设I是△ABC的内心，∠A,∠B,∠C的交平分线分别交对边于A',B',C'点，求证:
1
<
AI?BI?CI
≤
8
4
AA'?BB'?CC'
27
2. 设n>6是一个整数，a1,a2,...,ak 都是小于n的正整数并且与n互素。
如果a2-a1=a3-a2=... =ak-ak-1>,
求证，n是质数或者是2的幂次方。
3. 试找出最小的整数n使得每一个S的n元子集都包含5个两两互素的数。
4. 设G是一个有k条边的连通图，试证明可是对这些边编号1,2,...,k使得对于每个属于两条或两条以上的边的顶点， 从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。
注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为边）组成。 每对顶点之间最多有1条边。如果对图中的任何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v0,v1,..., vm=y使得vi,vi+1(0<=i<m)之间都有一条边，则称这个图是连通的。
5. X是△ABC内部中的一个点，试证明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一个不大于30o。
6. 任意给定一个实数a>1，试构造一个有界的无限序列x0,x1,x2,...
使得对任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。
注：一个无限实数序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一个常数C使得|xi|<C对任何i成立。
1. 弦AB,CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。
设t=AM/AB，试用t表示EF/EG。
2. 设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。
试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。
3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。
4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使
f(xf(y))=f(x)/y 对任何x,y都成立。
5. 给定一个初始整数n0>1，两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1,n2,n3,...：
若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n0：
(1) A有必胜策略；
(2) B有必胜策略；
(3) A,B都没有必胜策略。
6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,22,...,19902（顺序不定）。
1. 试证明集合{1,2,...,1989}可以分拆成117个子集合A1,A2,...,A117 （即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个Ai包含17个元素，并且每个Ai中元素之和都相等。
2. 锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A_1，类似定义B1,C1点。设AA1与∠ B,∠C的外交平分线交于A0点，类似定义B0,C0点。
求证：△A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的 两倍也是△ABC面积的至少4倍。
3. 设n,k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离。
求证： k<1/2+√2n。
4. 凸四边形ABCD的边AB,AD,BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，
求证：1/√h<=1/√AD+1/√BC。
5. 试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂。
6. 设{x1,x2,...,xm} 是{1,2,...,2n}的一个排列，其中n是一个正整数。如果|xi-xi+1|=n对至少 {1,2,...,2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x1,x2,...,xm}具有性质P。 试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多。
1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2. 寻找使下式成立的实数x：
4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9
3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：
tan a = 4nh/(an2 - a).
4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。
(a). 求证：V1 不等于 V2 ；
(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得 角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。
1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆。P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），
2. n是正整数， A1, A2, ... , A2n+1 都是集合B的子集，假设
试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个 Ai 都恰好包含n个标0的元素。
3. 函数 f 定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3; 且对每个正整数 n 有
f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)。
试确定小于或等于1988并满足 f(n) = n 的正整数 n 的个数。
4. 试证明满足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) >= 5/4.
的所有实数 x 的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是 1988。
5. 三角形△ABC, 角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD 的内心的连线分别交边AB, AC于K,L。求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍。
6. a,b都是正整数，且 ab+1整除 a2 + b2. 求证(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方数。
1. 设 pn(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 个固定点的排列的个数，求证 k从 0 到 n 对(k pn(k) )的求和是 n!。
[一个集合S的一个排列是从S到它自身的一一映射。元素 i 称为是 f 固定点如果 f(i) = i。]
2. 锐交三角形ABC 的内角A的角平分线交BC于 L，交ABC的外接圆于 N，从 L 点向 AB,AC做垂线，垂足分别是 K、M，求证四边形 AKNM的面积与三角形ABC的面积相等。
3. x1, x2, ... , xn 是实数并且满足x12 + x22 + ... + xn2 = 1，求证对每个正整数k >= 2存在不全为0的整数a1, a2, ... , an，使得对每个 i有|ai| <= k - 1 及
|a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)√n/(kn-1)。
4. 求证不存在从非负整数到非负整数的函数 f满足对所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。
5. n是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形。
6. n是大于或等于2的整数，如果对所有0<=k<=√n/3都有k2 + k + n 是素数，则
当0<=k<=n-2时，k2 + k + n 都是素数。
1. d是不为2,5,13的正整数，试证明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的两数a,b满足ab-1不是一个完全平方数。
2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一给定点P0，当s>=4时定义 As = As-3 ，现使用以下的方法构造一系列点P1, P2, P3, ...： Pk+1 是 Pk 绕 Ak+1 顺时针旋转120度得到的点（k = 0, 1, 2,...）。如果 P1986 = P0，求证A1A2A3是等边三角形。
3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使这5个整数之和是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数分别是x,y,z，如果y < 0则执行下述操作：将x,y,z分别替换为x + y, -y, z + y。重复执行这样的操作直到这5个顶点数中至少有一个是负值。试问能否经过有限步之后操作结束。
4. O是正n(n >= 5)边形的中心 ，设 A, B 是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形XYZ与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。
5. 试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数 f，使其满足f(2) = 0；当 0<= x <2时f(x)不等于0；对所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。
6. 给定平面上的一个有限点集，每个点的坐标都是整数，问有没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一个）的直线 L上的红点和白点的个数之差不大于1？