1.设函数f(x)在x=x₀处可导,则(   )

A.与x₀、h都有关

B.仅与x₀有关，而与h无关

C.仅与h有关,而与x₀无关

D.与x₀、h均无关

解析 本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.

答案 B

2.曲线y=f(x)在点(0,0)处的导数的值是-1,则过该点的切线一定(   )

A.平行于Ox轴

B.平行于Oy轴

C.平分第一、三象限

D.平分第二、四象限

分析 本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率.

解 因为f(x)在点(0,0)处的导数等于-1,即切线的斜率为-1.

根据直线的点斜式方程,可得y-0=-1×(x-0),即y=-x.故它平分第二、四象限.

答案 D

3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=gt²,g=9.8 m/s²,若v=,那么说法正确的是(   )

A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的速率

B.9.8 m/s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率

C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率

D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率

分析 本题考查导数的物理意义.s(t)在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.

解 s′=

∴s′|_t=1=g×1=g=9.8(m/s).

答案 C

4.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是（   ）

A.f(0)<0          B.f(1)>0            C.f(1)>f(0)           D.f(1)<f(0)

分析 本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.

解 因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.

答案 C

5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是（   ）

分析 本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.

解 函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.

答案 C

6.一点沿直线运动,若由始点起经过ts后的路程是s=t²+,则速度为0的时刻为       

s末.(    )

A.0          B.2           C.3           D.1

分析 本题主要考查导数的物理意义,即位移对时间的导数是瞬时速度.

解 s′=t-,令s′=t-=0,得t=1.

答案 D

7.曲线y=x³-3x上切线平行于x轴的点为(    )

A.(0,0),(1,3)              B.(-1,2),(1,-2)

C.(-1,-2),(1,2)            D.(-1,3),(1,3)

分析 本题主要考查导数的应用.根据与x轴平行的直线的斜率为零,构造方程f′(x)=0解得x的值,进一步求出交点的坐标即可.

解 y′=3x²-3,令3x²-3=0,得x=±1.

代入曲线方程得

答案 B

8.函数y=x³+在（0，+∞)上的最小值为（   ）

A.4         B.5          C.3        D.1

分析 本题主要考查应用导数求函数的最值.

解 y′=3x²-,令y′=3x²-=0,即x²-=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在（0,+∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在（0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.

答案 A

9.函数y=xlnx在区间（0，1）上是（   ）

A.单调增函数

B.单调减函数

C.在（0，)上是减函数，在（,1)上是增函数

D.在（0，)上是增函数，在（,1)上是减函数

分析 本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性?

解 y′=lnx+1,当y′>0时，解得x>.

又x∈(0,1),

∴<x<1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′<0且x∈(0,1),得0<x<,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.

答案 C

10.若函数y=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（  ）

A.0<b<1                B.b<1

C.b>0                  D.b<

分析 本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.

解 对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.

∵函数在（0，1）内有极小值，∴极值点在（0，1）上.

令y′=3x²-3b=0,得x²=b,显然b>0,

∴x=±.又∵x∈(0,1),

∴0<<1.∴0<b<1.

答案A

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.函数y=e^x2的导数是       .

分析 本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.

解 设y=e^μ,μ=x²,

则y_x′=y_μ′?μ_x′=(e^u)′?(x²)′=e^μ?2x=2xe^x2.

答案 2xe^x2.

12.有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是         m².

分析 本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数?

解 设场地的长为x m，则宽为(8-x) m,有S=x(8-x)=-x²+8x,x∈(0,8).

令S′=-2x+8=0,得x=4.

∵S在(0,8)上只有一个极值点,

∴它必是最值点,即S_max=16.

此题也可用配方法、均值不等式法求最值.

答案 16

13.★过原点作曲线y=2^x的切线,则切点的坐标为        ,切线的斜率为　　　　　.

分析 本题考查指数函数的导数及导数的几何意义.

解 ∵y=2^x,∴y′=2^xln2.

设切点坐标为(x₀,),则过该切点的直线的斜率为ln2,直线的方程为y-=ln2(x-x₀).

∵直线过原点,∴0-=ln2(0-x₀).

∴=x₀?ln2.∴x₀=log₂e,

即切点坐标为(log₂e,e),斜率为eln2.

答案 (log₂e,e)    eln2.

14.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是        .

分析 本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性质解决问题.

解 设φ(x)=f(x)g(x),则φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.

∴φ(x)在(-∞,0)上是增函数且φ(-3)=0.

又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴φ(x)=f(x)g(x)为奇函数.

∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函数且φ(3)=0.

当x<-3时,φ(x)<φ(-3)=0,即f(x)g(x)<0;

当-3<x<0时,φ(x)>φ(-3)=0,即f(x)g(x)>0.

同理,当0<x<3时,f(x)g(x)<0;

当x>3时,f(x)g(x)>0.

∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

答案 (-∞,-3)∪(0,3)

15.(本小题满分8分)过曲线y=x-e^x上某点的切线平行于x轴,求这点的坐标及切线方程.

分析 利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.

解∵y′=1-e^x,                          2分

又切线与x轴平行,∴切线的斜率k=0.     3分

∴令y′=1-e^x=0,得x=0.                 5分

∴切点坐标为(0,-1).                    6分

∴切线方程为y=-1.                    8分

16.★(本小题满分8分)已知导函数f′(x)的下列信息:

当1<x<4时,f′(x)>0;

当x>4或x<1时,f′(x)<0;

当x=4或x=1时,f′(x)=0.

试画出函数f(x)图象的大致形状.

分析 本题考查函数的单调性、极值与导函数的关系.

解 当1<x<4时,f′(x)>0,可知f(x)在此区间内单调递增;           2分

当x>4或x<1时,f′(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减;      4分

当x=4或x=1时,f′(x)=0,是两个极值点.                       6分

综上,函数f(x)的图象的大致形状如下图所示(注:图象不唯一,只要符合题设条件即可).

       8分

17.(本小题满分8分)设f(x)在x=1处连续,且求f′(1).

分析 本题考查抽象函数在某点处的导数.根据f(x)在某点连续的定义及导数的定义求解.

解 ∵f(x)在x=1处连续,∴f(x)=f(1).    2分

又f(x)=［(x-1)?］

=(x-1)?=0?2=0.

∴f(1)=0.                              5分

根据导数的定义，得

f′(1)=    8分

18.(本小题满分10分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表达式.

分析 本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解.

解 设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),      2分

∴f′(x)=2ax+b.               3分

由条件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.

∴f(x)=x²+2x+c.               5分

∵方程f(x)=0有两个相等实根,

∴Δ=4-4c=0,即c=1.           8分

∴函数解析式为f(x)=x²+2x+1.   10分

19.(本小题满分10分)如右图,已知曲线C₁:y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=-2x³+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C₁、C₂分别相交于点B、D.

(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);

(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.

分析 本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.

解 (1)解方程组

得交点O、A的坐标分别为(0,0)、(1,1).         2分

f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|?|1-0|=|BD|=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0<t<1).                       4分

(2)f′(t)=-t²+.                           6分

令f′(t)=-t²+=0,得t=,t=-(舍去).

当0<t<时,f′(t)>0,从而f(t)在区间(0,)上是增函数;     8分

当<t<1时,f′(t)<0,从而f(t)在区间(,1)上是减函数.

所以当时,f(t)有最大值f()=.               10分