37.(2009福建卷文)(本小题满分14分)

已知直线经过椭圆 21世纪教育网　 　

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭

圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点。

　 (I)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；

　 (Ⅲ)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这

样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解法一：

(I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

　　　 故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而

由得0

设则得，从而 21世纪教育网　 　

即又

由得

故

又 　　

当且仅当，即时等号成立21世纪教育网　 　

时，线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，

　　 此时的方程为

　　 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或 　　

36.(2009四川卷理)(本小题满分12分)

已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

　解：(Ⅰ)有条件有，解得。 　　

　　　　　 。

　　　　　　 所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知、。

　若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.

　将x=-1代入椭圆方程得。21世纪教育网　 　

　不妨设、，

　.

　,与题设矛盾。

　直线l的斜率存在。

　设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k(x+1)。

设、，

联立，消y得。

由根与系数的关系知，从而，

又，，

。

。

化简得

解得 　　　

35.(2009天津卷理)(本小题满分14分)

　　　 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。

(1)　　　 求椭圆的离心率； 　　

(2)　　　 求直线AB的斜率； 　　

(3)　　　 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 　　

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分

(I)　　　　　　　　　　 解：由//且，得，从而

　 整理，得，故离心率 　　　

(II)　　　　　　　　 解：由(I)得，所以椭圆的方程可写为

　 设直线AB的方程为，即. 　　　

　由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得.

依题意，

而　　 　　　　　　　①

　　　 　　　　　② 　　

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

　　　 　　　　　　　　　③

联立①③解得， 21世纪教育网　 　

将代入②中，解得.

(III)解法一：由(II)可知 　　　

当时，得，由已知得.

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点H(m，n)的坐标满足方程组

　 ， 由解得故

当时，同理可得. 　　　

解法二：由(II)可知

当时，得,由已知得 21世纪教育网　 　

由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H(m，n)在的外接圆上，

且，所以四边形为等腰梯形.

　　　 由直线的方程为,知点H的坐标为.

因为，所以，解得m=c(舍)，或.

则，所以. 　　　

当时同理可得　

33.(2009湖南卷理)(本小题满分13分)

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3，0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 　　　　　21世纪教育网　 　

　(Ⅰ)求点P的轨迹C；

　(Ⅱ)设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

　解(Ⅰ)设点P的坐标为(x，y)，则3︳x-2︳

由题设

当x>2时，由①得

　 化简得　 　21世纪教育网　 　

当时　 由①得

　 化简得　　　　　　　　　　　　

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1

(Ⅱ)如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A(2，)，

B(2，)，直线AF，BF的斜率分别为=，=.

当点P在上时，由②知

.　　　　　　　　 ④21世纪教育网　 　

当点P在上时，由③知 　　　　　

　　　　　　　　　 ⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为

(i)当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M(，)，N(，)都在C 上，此时由④知

∣MF∣= 6 - 　　∣NF∣= 6 - 　　　　　　

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)

由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - (+)=12 -

因为当

当且仅当时，等号成立。

(2)当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，

　 设直线AF与椭圆的另一交点为E

　 所以。而点A，E都在上，且

　 有(1)知 　　　　　　

若直线的斜率不存在，则==3，此时

综上所述，线段MN长度的最大值为

32.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个

焦点的距离分别是7和1

(I)　　　　　　　　　　 求椭圆的方程‘

(II)　　　　　　　　 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，

(e为椭圆C的离心率)，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

(20)解：

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 　　　　　

{　 解得a=4,c=3, 21世纪教育网　 　

所以椭圆C的方程为 　　　　　　

(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得

而，故　　　　　 　①

由点P在椭圆C上得　　　　 　　　　　　

代入①式并化简得

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 　　　　　　

31.(2009湖北卷文)(本小题满分13分)

如图，过抛物线y²＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁

(Ⅰ)求证：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)记△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面积分别为S^1、、S^2、，S³，试判断S²₂＝4S₁S₃是否成立，并证明你的结论。 　　

本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(满分13分)

(1)　　　 证法1：由抛物线的定义得

　　　　　　　 2分

如图，设准线l与x的交点为

　21世纪教育网　 　

而

即

故

证法2：依题意，焦点为准线l的方程为

设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有

由　 得

于是，，

，故

(Ⅱ)成立，证明如下：

证法1：设，则由抛物线的定义得

，于是

　21世纪教育网　 　

将与代入上式化简可得 　　

，此式恒成立。

故成立。

证法2：如图，设直线M的倾角为，

则由抛物线的定义得

于是

在和中，由余弦定理可得

由(I)的结论，得

即，得证。

30.(2009全国卷Ⅰ文)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

　 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

(Ⅰ)求r的取值范围

(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

解：(Ⅰ)将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(1)

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根

∴即。解这个方程组得

.

(II)　 设四个交点的坐标分别为、、、。

则由(I)根据韦达定理有，

则

令，则　　 下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

　　 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。

法2：设四个交点的坐标分别为、、、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。

设，由及(Ⅰ)得 　　

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则将，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或(舍去)

当时，；当时；当时，

故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 　

　　　 (Ⅱ)设直线AB的方程为由题意知 21世纪教育网　 　

　　　 由{ 得A点的坐标为

　　　 由{ 得B点的坐标为

　　　 由得P点的坐标为　

　　　 将P点坐标代入

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m).

　　 = 　　

以下同解答一.

29.(2009四川卷文)(本小题满分12分)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

[解析](I)由已知得，解得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

∴ 所求椭圆的方程为　　　　　 …………………………………4分

(II)由(I)得、

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得

设、，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ ，这与已知相矛盾。

②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，

设、，

联立，消元得

∴　 ，21世纪教育网　 　

∴　 ，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵

∴　

∴　

化简得

解得

∴　

∴　 所求直线的方程为　　 …………………………………12分

∴

由 得 ∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为

设 　　

由得P点的坐标为

将P点坐标代入化简得

设∠AOB

又

记

由

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是

28．(本小题满分14分)

已知双曲线C的方程为 21世纪教育网　 　

离心率顶点到渐近线的距离为

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.