8.(2009山东卷理)(本小题满分14分)

设椭圆E: (a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点，O为坐标原点，

(I)求椭圆E的方程；

(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 21世纪教育网　 　

则△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

因为,

所以,

,　

①当时

因为所以,

所以,

所以当且仅当时取”=”. 21世纪教育网　 　

②　　 当时,.

③　　 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,

综上, |AB |的取值范围为即:

[命题立意]:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

7.(2009江苏卷)(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。

6.(2009北京理)(本小题共14分)

已知双曲线的离心率为，右准线方程为

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交

于不同的两点，证明的大小为定值.

[解法1]本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

(Ⅰ)由题意，得，解得，

　　　　　　　 ∴，∴所求双曲线的方程为.

(Ⅱ)点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∵，且

，

.

∴ 的大小为.

[解法2](Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.由及得

　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，∴ 的大小为.

(∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零).

5.(2009北京文)(本小题共14分)21世纪教育网　 　

已知双曲线的离心率为，右准线方程为。

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.　

[解析]本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

(Ⅰ)由题意，得，解得，

　　　　　　　 ∴，∴所求双曲线的方程为.

(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，

　　　 由得(判别式),

　　 ∴,

∵点在圆上，

∴，∴.

4.(2009浙江文)(本题满分15分)已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

　 (I)求与的值；

　 (II)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得

(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当　 则。

联立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直线斜率为 21世纪教育网　 　

，联立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

MN是抛物线的切线，， 整理得

，解得(舍去)，或，

3.(2009浙江理)(本题满分15分)已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

　 (I)求椭圆的方程；

　 (II)设点在抛物线：上，在点处

的切线与交于点．当线段的中点与的中

点的横坐标相等时，求的最小值．

解析：(I)由题意得所求的椭圆方程为，21世纪教育网　 　

(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，21世纪教育网　 　

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

2.(2009全国卷Ⅰ理)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

　如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。

　(I)求得取值范围；

　(II)当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标

分析：(I)这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(＊)

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程(＊)有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．

　 设四个交点的坐标分别为、、、。

则由(I)根据韦达定理有，

则

令，则　　 下面求的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

　　 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。

方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。

下面来处理点的坐标。设点的坐标为：

由三点共线，则得。

以下略。

1.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.

(1)求椭圆G的方程

(2)求的面积

(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.

[解析](1)设椭圆G的方程为：　 ()半焦距为c;

　　　　 则 , 解得 ,

　　 所求椭圆G的方程为：. 21世纪教育网　 　　　　　

(2 )点的坐标为

(3)若，由可知点(6，0)在圆外，

　　 若，由可知点(-6，0)在圆外；

　　 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

23.(2009上海卷文)已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则　　　　　　 . 　　　

[答案]3

[解析]依题意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，故有b＝3。

22.(2009年上海卷理)已知、是椭圆(＞＞0)的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________. 　　　　　　　

[答案]3

[解析]依题意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，故有b＝3。